Serie de Laurent finita como la completación de $k(T)$

Question

He estado tratando de resolver el siguiente problema:

Demuestra que $k((1/T))$, el anillo de series de Laurent finitamente cola en $1/T$ con coeficientes en $k$, es la completación de $k(T)$ con respecto a una valor absoluto discreto asociado con la valuación $v_\infty$ de $k(T)$.

No tengo ni idea de cómo relacionar la mencionada expansión con la construcción formal de la completación (tomando sucesiones de Cauchy y haciendo el cociente por aquellas que tienden a $0$). ¿Pistas?

Answer 1

Nota: Aquí asumo que la valoración (aditiva, no arquimediana) $v_\infty$ en $k(T)$ está dada por $v_\infty \left(\dfrac{p(T)}{q(T)} \right) := \deg(q)-\deg(p)$ como debería ser.

$\displaystyle\dfrac{1}{c_0+c_1 T+ ... +c_n T^n}= \frac{1}{c_n}\cdot T^{-n} \cdot \dfrac{1}{\frac{c_0}{c_n} (1/T)^n+\frac{c_1}{c_n}(1/T)^{n-1}+...+1} \\ \displaystyle \stackrel{\text{serie geométrica}}= \frac{1}{c_n} \cdot (1/T)^{n} \cdot \left( \sum_{k=0}^\infty \left(-\frac{c_0}{c_n} (1/T)^n-\frac{c_1}{c_n}(1/T)^{n-1}-...-\frac{c_{n-1}}{c_n}(1/T)\right)^k \right)$

y claramente esto es un elemento de $k((1/T))$ de valoración $n$ (donde la valoración aditiva $v_{1/T}$ es simplemente el índice más bajo de la serie de Laurent en la variable $(1/T)$ con coeficiente no nulo). Por lo tanto, un elemento general de $k(T)$,

$\displaystyle\dfrac{a_0+a_1 T +...+a_mT^m}{c_0+c_1 T+ ... +c_n T^n} \\ \displaystyle =a_0 \cdot \dfrac{1}{c_0+c_1 T+ ... +c_n T^n} + a_1 T \cdot \dfrac{1}{c_0+c_1 T+ ... +c_n T^n}+ ...+ a_m T^m \cdot \dfrac{1}{c_0+c_1 T+ ... +c_n T^n} \\ \displaystyle =a_0 \cdot \dfrac{1}{c_0+c_1 T+ ... +c_n T^n} + a_1 (1/T)^{-1} \cdot \dfrac{1}{c_0+c_1 T+ ... c_n T^n}+ ...+ a_m (1/T)^{-m} \cdot \dfrac{1}{c_0+c_1 T+ ... +c_n T^n}$

es un elemento de $k((1/T))$ de valoración $n-m$.

Formalmente, lo anterior define un embebido isométrico de anillos $$(k(T), v_{\infty}) \hookrightarrow (k((1/T)), v_{1/T})$$

y dado que este último es muy conocido por ser completo, todo lo que queda por mostrar es que la imagen del primero es densa en él. Bueno, por ejemplo, claramente contiene todos los polinomios de Laurent.