¿Qué número tiene más dígitos y por cuántos?

Question

Paula escribe todos los enteros positivos de 2015 dígitos en una fila, formando un número largo. Peter escribe todos los números de 2016 dígitos en una fila larga y elimina todos los 0s. ¿Qué número tiene más dígitos y por cuántos?
Intenté contar cuántos 0s hay, pero hay demasiados y lleva demasiado tiempo. ¿Cuál es la forma más rápida de abordar esto?

Answer 1

Existen $9\cdot 10^{2014}$ diferentes enteros positivos de $2015$ dígitos. Al concatenarlos de alguna manera, obtenemos un total de $2015\cdot (9\cdot 10^{2014})$ dígitos en secuencia.

Existen $9\cdot 10^{2015}$ diferentes enteros positivos de $2016$ dígitos. Una décima parte de estos tendrá un cero en el segundo dígito. De la misma forma, una décima parte tendrá un cero en el tercer dígito, cuarto dígito, etc...

Al concatenar los enteros juntos, obtenemos $2016\cdot 9\cdot 10^{2015}$ sin embargo eliminando un cero del segundo dígito de cada uno donde ocurra, se eliminarán $\frac{1}{10}\cdot 9\cdot 10^{2015}$ dígitos. De forma similar para cada otra posición de dígito (excepto por la primera por supuesto ya que un número de $k$ dígitos no puede empezar con cero). Esto nos lleva a un nuevo conteo de $2016\cdot 9\cdot 10^{2015}-2015\cdot 9\cdot 10^{2015}\cdot \frac{1}{10} = (20160-2015)\cdot 9\cdot 10^{2014}

Puedes ver de inmediato que este número es mayor que el primero.