Sobre las soluciones de una ecuación en $\mathbb{Z}_3$

Question

Para los números enteros $x_1, x_2, y_1, y_2, y_3$ Supongamos que $$ x_1 + x_2 \equiv y_1 + y_2 + y_3 \pmod 3. $$ Para $k=0, 1, 2$ definir $$ s_k = \Big| \{ y_i \,|\, y_i \equiv k \pmod 3 \} \Big| - \Big| \{ x_i \,|\, x_i \equiv k \pmod 3 \} \Big|, $$ Demostrar que $$ (s_2 - s_1 )/3 + (1 - (-1)^{s_0}) / 2 \leq 1 . $$

¿Hay alguna idea para demostrar esta desigualdad que no sea la comprobación caso por caso de las soluciones de la primera ecuación?

Editar:

De hecho, se plantea un problema similar para muchas otras ecuaciones en $\mathbb{Z_3}$ . Por ejemplo, $$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4\equiv y_1 \pmod 3 $$ y $$ x_1 + 1 \equiv y_1 +y_2 + y_3 \pmod 3.$$ Estoy buscando una solución que pueda extenderse a otras ecuaciones.

Answer 1

Sus congruencias tienen la forma general $$\sum_{i=1}^r x_i + c\equiv\sum_{j=1}^s y_j \quad(\textrm{mod } m).$$

Esto implica las siguientes tres relaciones entre los $s_k$ 's:

1. $\sum_k k\, s_k \equiv c \ (\textrm{mod } m)$
2. $\sum_k s_k = s - r$
3. $\sum_k |s_k| \le r+s$ con igualdad si no hay $x_i$ toma el mismo valor que un $y_j$ .

(La primera es sólo la congruencia original reformulada, y la segunda dice que si se suma la $s_k$ se obtiene el número de $y$ menos el número de $x$ 's. El tercero no es necesario para tu ejemplo pero parece útil en algunos casos más grandes; se deduce ya que $$|s_k|\le \#\{y_j\mid y_j=k\}+\#\{x_i\mid x_i=k\}.)$$

Además, sabemos que, para cada $k$ , $-r\le s_k\le s$ .

Especialización a su ejemplo: $r=3$ , $s=2$ , $m=3$ , $c=0$ por lo que las ecuaciones (1) y (2) se reducen a

1. $ s_1-s_2 \equiv 0 \ (\textrm{mod } 3)$
2. $s_0+s_1+s_2 = -1 $

donde $-3\le s_k\le 2$ .

La ecuación (1) dice $s_1$ y $s_2$ son congruentes mod 3, pero como el $s_k$ se limitan a un intervalo de longitud 5, $|s_1-s_2|$ es 0 o 3. En el primer caso, $s_1$ y $s_2$ tienen la misma paridad, por lo que concluimos $s_0$ es impar (tomando la ecuación (2) mod 2). En este último caso $s_1$ y $s_2$ tienen paridad opuesta, por lo que $s_0$ es par. Así, en ambos casos, tenemos

$$\frac{|s_1-s_2|}{3}+ \frac{1-(-1)^{s_0}}{2}= 1$$

ya que uno de los sumandos es 1, y el otro es 0. La desigualdad deseada sigue.

Answer 2

Podemos suponer que $x_1,x_2,y_1,y_2,y_3\in\{0,1,-1\}$ . Entonces podemos utilizar las funciones indicadoras \begin {align*} f_0(t) &= 1-t^2 = \begin {casos} 1 & t=0 \\ 0 & t \in\ {-1,+1\} \end {casos} \\ f_1(t) &= \frac {t(t+1)}2 = \begin {casos} 1 & t=1 \\ 0 & t \in\ {-1,0\} \end {casos} \quad\text {y} \\ f_2(t) &= \frac {t(t-1)}2 = \begin {casos} 1 & t=-1 \\ 0 & t \in\ {0,1\} \end {casos} \end {align*} para contar los números en las clases de resto: $$ s_k = \sum_{i=1}^3 f_k(y_i) - \sum_{i=1}^2 f_k(x_i). $$ Al introducir la definición de $f_k$ obtenemos $$ s_0 = 1 +x_1^2+x_2^2 -y_1^2-y_2^2-y_3^2, $$ y $$ s_2-s_1 = x_1+x_2-y_1-y_2-y_3. $$ Obviamente, $|s_2-s_1|\le 5$ . Por la suposición, $3|s_2-s_1$ . Además, debido a $x_i^2\equiv x_i\pmod2$ y $y_i^2\equiv y_i\pmod2$ , $s_2-s_1\equiv s_0-1\pmod2$ .

Si $s_0$ es impar entonces $s_2-s_1$ es par, por lo que $6|s_2-s_1$ . Por lo tanto, $s_2-s_1=0$ .

Si $s_1$ es incluso entonces $s_2-s_1$ es impar, así que $s_2-s_1\equiv3\pmod6$ y $|s_2-s_1|=3$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que $(s_2 - s_1 )$ es ( $\#y_i\equiv2)-(\#y_i\equiv1)+(\#x_i\equiv1)-(\#x_i\equiv2)$ . Un poco de comprobación muestra que esto puede ser como máximo $3$ .

Por lo tanto, $(s_2 - s_1 )/3\le1$ y la única forma en que la desigualdad podría fallar es cuando $(1 - (-1)^{s_0}) / 2 = 1$ . Esto ocurre cuando $s_0$ es impar. Para que la desigualdad fracase, también tendría que darse el caso de que $s_2>s_1$ para el mismo $x_i,y_i$ .

Considere los casos en que $s_0$ es impar. Si $s_0 = (\#y_i\equiv0)-(\#x_i\equiv0)=3-0$ , $x_1$ y $x_2$ no son divisibles por $3$ pero su suma es, por tanto $s_1=s_2=-1$ . Del mismo modo, si $s_0=3-2$ , $s_1=s_2=0$ . Si $s_0=2-1$ , $s_1=s_2=0$ también, y si $s_0=1-2$ debe ser el caso que $s_1=s_2=-1$ .

En otras palabras, si $s_0$ es impar, entonces $s_1=s_2$ y la desigualdad siempre se mantiene.

Los siguientes cálculos de Excel para todas las combinaciones de clases de congruencia mod $3$ satisfacer el requisito de la suma igual ayudó a mostrar el camino hacia una prueba.