Encontrar $y^{\prime \prime}$ de $2x^2+3y^2=4$

Question

Encuentre $y^{\prime}$ y $y^{\prime \prime}$ de $2x^2+3y^2=4$

$$y^{\prime}=\dfrac{d}{dx}(2x^2)+\dfrac{d}{dx}(3y^2)=\dfrac{d}{dx}(4)$$

$$4x+6yy^{\prime}=0$$ $$y^{\prime}=\dfrac{-2x}{3y}$$

Así es como empecé a encontrar $y^{\prime\prime}$: $$y^{\prime\prime}=\dfrac{3y \dfrac{d}{dx}(-2x) - (-2x)\dfrac{d}{dx}(3y)}{(3y^2)}$$

$$\dfrac{3y(-2)-[-2x(3y^{\prime})]}{9y^2}$$ $$\dfrac{-6y-[-6xy^{\prime}]}{9y^2}$$

Esto no está correcto ya que la respuesta correcta es $\dfrac{-6y^2+4x^2}{9y^3}$

¿Puede por favor mostrar cómo encontrar $y^{\prime\prime}$? Gracias.

Answer 1

$$(2x^2+3y^2)'=4'$$ $$4x+6yy'=0$$ $$2x+3yy'=0$$ $$y'=-\frac{2x}{3y}$$ $$(2x+3yy')'=0'$$ $$2+3(y')^2+3yy''=0$$ $$y''=\frac{-2-3(y')^2}{3y}$$ $$y''=\frac{-2-3(-\frac{2x}{3y})^2}{3y}=\frac{-2+\frac{4x^2}{3y^2}}{3y}=\frac{4x^2-6y^2}{9y^3}$$

Answer 2

Ten en cuenta que

$$6x \cdot \frac{-2x}{3y} = \frac{-12x^{2}}{3y} = \frac{-4x^{2}}{y}$$

Por lo tanto, tenemos que

$$y'' = \frac{-6y + \frac{-4x^{2}}{y}}{9y^{2}}$$

Multiplicando por $\frac{y}{y} = 1$, obtenemos:

$$y'' = \frac{-6y^{2} - \frac{4x^{2}}{y}\cdot y}{9y^{3}} = \frac{-6y^{2}-4x^{2}}{9y^{3}}$$