Una función multivariable con derivadas parciales acotadas es Lipschitz

Question

Estoy curioso si he hecho esto correctamente, ¡por favor ofrezca sugerencias/correcciones si no es así! Soy nuevo trabajando en $\Bbb R^n$ así que se apreciarían ideas claras.

El problema:

Sea $f:\Bbb R^2 \to \Bbb R$ tal que cada $D_1f$ y $D_2f$ están definidos en todas partes y son funciones acotadas. Demuestra que $f$ es Lipschitz.

Mi intento:

La definición de Lipschitz con la que estoy trabajando es que existe algún $L > 0$ tal que $|f(x) -f(y)| \leq L||x-y||$.

Dado que $D_1f$ y $D_2f$ están acotados, debe existir:

• $S_1 = \sup \{||D_1f(x)|| : x \in \Bbb R^2\}$
• $S_2 = \sup \{||D_2f(x)|| : x \in \Bbb R^2\}$

Ahora sea $a = (a_1,a_2)$ y $b = (b_1,b_2) \in \Bbb R^2$. Entonces tenemos: \begin{align*} f(a) - f(b) &= f(a_1,a_2) - f(b_1,b_2) \\ &= f(a_1,a_2) - f(a_1,b_2) + f(a_1,b_2) - f(b_1,b_2) \end{align*} Luego, por desigualdad triangular: $$|f(a)-f(b)| \leq |f(a_1,a_2) - (a_1,b_2)| + |f(a_1,b_2) - f(b_1,b_2)|$$ Y dado que las derivadas parciales existen en todas partes en $\Bbb R^2$, podemos usar el Teorema del Valor Medio de una dimensión para mostrar que existe algún $c$ tal que: $$\frac{f(a_1,a_2)-f(a_1,b_2)}{a_2-b_2} = D_2f(a_1,c)$$ Y notando cómo definimos $S_2$, se sigue que $$|f(a_1,a_2) - f(a_1,b_2) \leq S_2 |a_2 - b_2|$$ Y de manera similar $$|f(a_1,b_2) - f(b_1,b_2)| \leq S_1 |a_1-b_1|$$ Y usando la declaración que obtuvimos de la desigualdad triangular, tenemos que $$|f(a)-f(b)| \leq S_1|a_1-b_1| + S_2|a_2 - b_2|$$ Y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos que $$S_1|a_1-b_1| + S_2|a_2 - b_2| \leq \sqrt{S_1^2 + S_2^2}\cdot \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2} = \sqrt{S_1^2 + S_2^2} \cdot ||a-b||$$ Por lo tanto $$|f(a)-f(b)| \leq \sqrt{S_1^2 + S_2^2} \cdot ||a-b||$$ Entonces $f$ es Lipschitz con $L = \sqrt{S_1^2 + S_2^2}$.

Answer 1

La prueba es correcta y suficientemente detallada. Mi preferencia personal es expresarla de forma más "modular" al aislar un hecho importante:

Lema. Una función $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb R$ es Lipschitz si y solo si existe una constante $L$ tal que la restricción de $f$ a cada recta paralela a un eje coordenado es Lipschitz con constante $L.

Observa que el lema no tiene nada que ver con las derivadas parciales. Una dirección es trivial, la otra es simplemente la desigualdad del triángulo. Por ejemplo, $$ |f(a_1,a_2)-f(b_1,b_2)| \le |f(a_1,a_2)-f(b_1,a_2)|+|f(b_1,a_2)-f(b_1,b_2)| \\ \le L|a_1-a_2|+L|b_1-b_2| \le L\sqrt{2}\|a-b\| $$ y de manera similar para $n$ general. $\quad\Box$

Una vez que tengas el lema, la prueba de la afirmación en tu publicación se reduce a establecer $L = \max_i(\sup |D_if)$ y usar el Teorema del Valor Medio unidimensional para demostrar que se cumple la hipótesis del lema.