En mis diapositivas de conferencia a las que Tewodros hace referencia, estudié funciones simétricas que llamé $g_m$, donde $m$ es un entero positivo, que tienen término constante 1 y satisfacen
$$ -L_m[g_m] = p_1,$$ donde $L_m$ es la función simétrica de Lyndon dada por $$L_m = \frac{1}{m} \sum_{d\mid m} \mu(d) p_d^{m/d}.$$ Aquí $\mu$ es la función de Möbius, los $p_i$ son funciones simétricas de suma de potencias, y $L_m[g_m]$ es el plethysm de $L_m$ y $g_m$. Demostré que $g_m$ es una función simétrica integral; es decir, sus coeficientes en las variables subyacentes son enteros, y que si $m$ es una potencia del primo $q$ entonces para cualquier $\alpha$, \begin{multline*} \quad g_m^{-\alpha} = 1+ \sum_{n=1}^\infty \sum_{\lambda}\frac{p_{\lambda}}{z_\lambda}\\ \times \alpha\prod_{j=2}^{l(\lambda)} (m\lambda_j+m\lambda_{j+1}+\cdots +m\lambda_{l(\lambda)}+\alpha),\quad\tag{1} \end{multline*} donde la suma en $\lambda$ es sobre todas las particiones de $n$ en las que cada parte es una potencia de $q$. (Estoy usando $q$ aquí en lugar de $p$ para evitar confusiones con las funciones simétricas de suma de potencias.) Esto muestra que si $\alpha$ es positivo y $m$ es una potencia de un primo entonces todos los coeficientes de $g_m^{-\alpha}$ son positivos. No sé si esto es cierto si $m$ no es una potencia de un primo, aunque sospecho que lo es.
Ahora vamos a especializar las funciones simétricas (en las variables $x_1, x_2,\dots$) al configurar $x_1=x$ y $x_i=0$ para $i>0$, o en otras palabras, $p_i =x^i$ para todos los $i$. Sea $G_m(x)$ la imagen de $g_m$ bajo esta especialización. Entonces $G_m(x)$ satisface la ecuación funcional $$-\frac{1}{m}\sum_{d\mid m}\mu(d) G_m(x^d)^{m/d} = x.$$ Si $m$ es una potencia del primo $p$, esto se puede escribir como $$G_m(x^p)^{m/p} -G_m(x)^m = mx$$ y es fácil verificar que si $m=p$ entonces $A_p(x) =1/G_p(x)$, donde $A_p(x)$ es como en la pregunta original. Además, se sigue de $(1)$ que si $m$ es una potencia del primo $p$ entonces para cualquier $\alpha$ tenemos \begin{multline*} \quad G_m(x)^{-\alpha} = 1+ \sum_{n=1}^\infty x^n \sum_{\lambda}\frac{\alpha}{z_\lambda}\, \\ \times\prod_{j=2}^{l(\lambda)} (m\lambda_j+m\lambda_{j+1}+\cdots +m\lambda_{l(\lambda)}+\alpha),\quad\tag{2} \end{multline*} donde la suma en $\lambda$ es sobre todas las particiones $p$-arias de $n$. El caso $m=p$, $\alpha=1$ responde afirmativamente a las preguntas del OP.
En todos los casos, $G_m(x)$ tiene coeficientes enteros, pero solo puedo demostrar que $G_m(x)^{-1}$ tiene coeficientes positivos cuando $m$ es una potencia de un primo, cuando se sigue de $(2)$, aunque es probable que esto sea cierto en todos los casos. La afirmación más fuerte de que $1-G_m(x)$ tiene coeficientes positivos también se sigue de $(2)$ cuando $m$ es una potencia de un primo.
Estoy trabajando en un artículo con demostraciones detalladas de estas fórmulas, pero llevará un tiempo.
