Obtener de la media aritmética ponderada a la media aritmética

Question

Tengo una función para calcular alguna media aritmética ponderada de un vector $x\in \mathbb{R}^N$ $$f(x) = \frac{\sum\limits_i^N w(i)^2x_i}{\sum\limits_i^N w(i)}$$

Ahora para $w(i) = 1$, esto simplemente se resuelve como $\frac{1}{N}\sum\limits_i^N x_i = \bar{x}$, es decir, la media aritmética regular.

Pero supongamos que definimos $w(i) = \frac{1}{i^2}$. ¿Hay alguna forma de corregir f(x) por algún factor para volver a la media aritmética (no ponderada)? Entonces, existe un $a$, tal que $$af(x) = \bar{x}$$

Esto podría ser bastante fácil, o imposible por alguna razón. Pero no puedo resolverlo.

Answer 1

No, no es posible. Para mostrar por qué, basta con elegir dos muestras distintas que tengan la misma media ponderada, pero medias no ponderadas diferentes, lo que implica inmediatamente que no hay forma de deshacer la ponderación. Es decir, consideramos $$\boldsymbol x = (x_1, \ldots, x_N), \\ \boldsymbol y = (y_1, \ldots, y_N)$$ tal que $$f(\boldsymbol x) = f(\boldsymbol y)$$ pero $$\bar x \ne \bar y.$$ Estos criterios conforman un sistema lineal de dos ecuaciones en $N$ incógnitas (para factores de ponderación fijos $w(i)$). Tenga en cuenta que la segunda condición no es estrictamente una ecuación, pero puede convertirse en una postulando, por ejemplo, $\bar x = \bar y + k$ para alguna constante distinta de cero $k$. Con $N$ mayor que $2$, o con $N$ suficientemente grande, este sistema está en general subdeterminado, por lo tanto admitirá infinitas soluciones.