Una manera sensata/sistemática de lidiar con la siguiente ecuación

Question

Dado que $y=x\varphi(z)+\psi(z)$ donde $z$ es una función implícita de $x,y$, y $x\cdot\varphi'(z)+\psi'(z)\neq0$. Intenta probar que $$\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2-2\cdot\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\cdot\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2=0$$

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El esquema de la prueba del libro :

Diferenciando $y=x\varphi(z)+\psi(z)$ con $\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}$, $\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$, $\dfrac{\partial^2z}{\partial y^2}$, y luego multiplicando coeficientes especiales, podemos obtener la respuesta.

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Me pregunto si hay formas sensatas de verificar estas ecuaciones, o incluso más, si hay formas sistemáticas de producir tales ecuaciones.

¿Alguna ayuda? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Sea $\begin{pmatrix}z_{xx}&z_{xy}\\z_{xy}&z_{yy}\end{pmatrix}$ la matriz Hessiana de $z(x,y)$. Para cualquier vector unitario $v$, la expresión $v^THv$ es la segunda derivada direccional de $z$ a lo largo de $v$. La expresión que tenemos es exactamente de esta forma, con $v=\begin{pmatrix}-z_y \\ z_x\end{pmatrix}$, que reconocemos como el gradiente $\nabla z$ rotado 90 grados.

En otras palabras, la fórmula que se nos pide demostrar simplemente dice que la segunda derivada direccional de $z(x,y)$ se anula en la dirección tangente a la curva de nivel de $z$. Esto parece indicar que la curva de nivel no tiene permitida una curvatura positiva, e de hecho, una mirada a la ecuación implícita nos dice que las curvas de nivel de $z(x,y)$ son líneas. Naturalmente, todas las derivadas direccionales de $z$ se anulan a lo largo de estas líneas, incluyendo la segunda.

Comentarios adicionales:

• El gráfico de $z$ es un tipo especial de superficie reglada: está reglada por líneas horizontales. No estoy seguro si estas tienen un nombre.
• Si en cambio requerimos que la segunda derivada se anule en la dirección de $\nabla z$ (sin rotar el gradiente en 90 grados), obtenemos $(\nabla z)^T\, H\, \nabla z=0$, la ecuación del $\infty$-Laplaciano, un tema recientemente popular en ecuaciones en derivadas parciales.
• Grigori Mijáilovich Fihtengoltz falleció hace casi exactamente 53 años, el 26 de junio. Estoy seguro de que esperaba que los estudiantes realmente llevaran a cabo los cálculos, y que los estudiantes lo hicieron.