Un conjunto es un conjunto nulo

Question

Este es el problema que encontré. Si $fL^+$ y $f<$, entonces demuestra que $\{x:f(x)=\}$ es un conjunto nulo y $\{x:f(x)>0\}$ es finito.

Intenté usar el MCT pero no pude continuar. ¿Qué debo hacer para continuar?

Answer 1

Sugerencias: Para la primera parte, permite que $E=\{x:f(x)=\infty\}$. Entonces $\int f\ge \int_E f=?.

Para la segunda, ¿puedes ver por qué cada conjunto $\{x:f(x)>a\}$ debe ser finito, para $a>0$? ¿Qué pasaría si fueran infinitos (usa un truco similar a la primera parte)? Luego puedes escribir $\{x:f(x)>0\}$ como una unión numerable de tales conjuntos.