No todas las superficies de Seifert surgen del algoritmo de Seifert. El género mínimo de la superficie de Seifert del algoritmo de Seifert, sobre cada diagrama de un nudo, se conoce como el género canónico. La diferencia entre el género y el género canónico puede ser arbitrariamente grande.
El argumento homológico usual es el siguiente. Sea $N$ un vecindario tubular abierto del nudo $L$, con $K$ fuera del cierre de $N$. El exterior del nudo $X=S^3-N$ es una variedad compacta de $3$ dimensiones con borde, y en ella tenemos a $K$ y a $F'_L=F_L\cap X$. Dado que $F'_L$ es una superficie orientada, podemos pensar en ella como una clase de homología relativa $[F'_L]\in H_2(X,\partial X)$. La forma de intersección algebraica bajo consideración es $H_1(X)\times H_2(X,\partial X)\to H_0(X)$, donde $H_0(X)\cong\mathbb{Z}$. Dualmente a Poincaré, esto es $H^2(X,\partial X)\times H^1(X)\to H^3(X,\partial X)$ por productos de copas. Si $K$ es un bucle meridiano para $L$, entonces es cierto que $i(K,F_L)=\pm 1$, por lo que $[F'_L]$ no debe ser un elemento divisible (el producto de las copas es un emparejamiento perfecto en las partes libres). En particular, la dualidad de Poincaré tiene $H_2(X,\partial X)\cong H^1(X)$, y por la dualidad de Alexander $H^1(X)\cong\mathbb{Z}$, por lo que $[F'_L]$ es un generador de $H_2(X,\partial X)$. Qué generador es depende solo de la orientación de la superficie. La conclusión es que cualquier otra superficie de Seifert da el mismo generador, por lo tanto, los mismos números de intersección algebraica.
Un argumento más geométrico proviene de entender cómo las superficies de Seifert están relacionadas por "cirugías embebidas". Supongamos que $F'_L$ es una superficie compresible, lo que significa que hay un disco embebido $D\subset X$ tal que $D\cap F'_L=\partial D$, $D$ se encuentra con $F'_L$ transversalmente, y $\partial D$ no limita un disco en $F'_L$. Entonces podemos comprimir $F'_L$ a lo largo de $D$ al, aproximadamente, tomar dos copias paralelas de $D$, cortar el anillo en $F'_L$ que está entre ellas, y luego pegar las dos copias de $D$ para formar la nueva superficie. Como se explica en el libro de Lickorish Una Introducción a la Teoría de Nudos, la relación de equivalencia en las superficies de Seifert generada por compresiones (cuya operación inversa se llama una "cirugía de arco embebida") e isotopías tiene una única clase de equivalencia, los efectos correspondientes en las matrices de Seifert se conocen como s-equivalencia. Así que: todo lo que necesitas hacer para mostrar que el número de intersección no depende de la superficie de Seifert es demostrar que no cambia después de una isotopía de la superficie y después de una compresión de la superficie.
