Completación del álgebra sigma de Borel con respecto a la medida de Lebesgue

Question

Hay dos formas de extender el álgebra σ de Borel en $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$, con respecto a la medida de Lebesgue $\lambda.

1. La completación $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ de $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ con respecto a $\lambda$, es decir, incluyendo todos los conjuntos contenidos en conjuntos de Borel de medida $0$.

Sea $\lambda^\$ la medida exterior de Lebesgue en $\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$, y tomemos $\mathcal{L}'(\mathbb{R}^n)$ como aquellos $E$ tales que para todo $A\subseteq\mathbb{R}^n$, $\lambda^*(A)=\lambda^*(A\cap E)+\lambda^*(A\cap E^\complement)$.

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Sabemos que $\mathcal{L}'(\mathbb{R}^n)\supset\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ y $\mathcal L'(\mathbb{R}^n)$ es completo, entonces $\mathcal L'(\mathbb R^n)\supset\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$. Pero ¿la inclusión inversa también es cierta?

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Answer 1

Desde la definición de la medida exterior $\lambda^{*}$, se puede demostrar que si $A\in \mathcal{L}'$ entonces existe un conjunto $G_{\delta}$ $B$ tal que $A\subseteq B$ y $\lambda^{*}(B\setminus A)=0$. Después de eso, la respuesta a esta pregunta es un fácil sí.

Answer 2

Solo completando los detalles de la respuesta de Michael:

Si $A\in\mathcal{L}'$, entonces considere la familia $\mathcal{C}$ de cada secuencia de productos de intervalos abiertos $\{R_i\}_{i=1}^{\infty}$ tal que $A\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}R_i$. Ahora, por definición de la medida exterior de Lebesgue, $\lambda^*(A):=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mathrm{vol}(R_i):\{R_i\}_{i=1}^{\infty}\in\mathcal{C}\right\}$. Por lo tanto, es fácil mostrar que existe una secuencia decreciente de conjuntos $\{U_j\}_{j=1}^{\infty}$ siendo $U_j=\bigcup_{i=1}^{\infty}R_i$ para algún $\{R_i\}_{i=1}^{\infty}\in\mathcal{C}$ tal que $A\subset B:=\lim_{j\to\infty}U_j:=\bigcap_{j=1}^{\infty}U_j\in\mathcal{B}$ cumple que $\lambda^*(B)=\lambda^*(A)$.

Usando que $A\in\mathcal{L}'$ se sigue que $\lambda^*(B)=\lambda^*(A\cap B)+\lambda^*(B\setminus A)$, así que $\lambda^*(B\setminus A)=0$.

Sabiendo esto, tenemos que demostrar que dado cualquier $A\in \mathcal{L}'$, entonces $A=A_1\cup A_2$, siendo $A_1\in \mathcal{B}$ y $A_2\subset N\in\mathcal{B}$ tal que $\lambda(N)=0$. Es fácil mostrar que $\mathbb{R}^n\setminus A=(B\setminus A)\cup(\mathbb{R}^n\setminus B)$, lo cual cumple con todos nuestros requisitos. Así, dado que cada $A\in\mathcal{L'}$ es el complemento de otro conjunto en $\mathcal{L'}$, hemos ganado, y $\mathcal{L}=\mathcal{L'}$.