¿Qué tiene que ver el polinomio cromático con el modelo de Potts?

Question

Wikipedia escribe:

En mecánica estadística, el Potts una generalización del modelo de Ising es un modelo de espines que interactúan en una red cristalina.

Por conferencias y seminarios de combinatoria, sé que el modelo Potts tiene algo que ver con el polinomio cromático pero no me queda claro de dónde surge (y para qué gráfico es el polinomio cromático de).

Pregunta: ¿Qué tiene que ver el polinomio cromático con el modelo de Potts?

Answer 1

La relación entre el polinomio cromático y el modelo de Potts es un caso especial de la relación entre el polinomio de Tutte y el modelo de racimo aleatorio de Fortuin y Kastelyn. Hay un pequeño fragmento sobre esto en la página de wikipedia sobre el polinomio de Tutte pero hay una sección sobre esto en "Modern Graph Theory" de Bollobàs y muchos más artículos que aparecen bajo una búsqueda en Google de "Tutte statistical mechanics" incluyendo " Un poco de mecánica estadística para el teórico de los gráficos " que siempre he querido terminar de leer...

Por cierto, parece que hay un poco de confusión en tu pregunta sobre lo que "es" el modelo de Potts. No tiene mucho sentido preguntar "para qué gráfico es el modelo de Potts el polinomio cromático". El modelo de Potts es un modelo probabilístico (más o menos, una medida sobre las "coloraciones" aleatorias de los vértices, es decir, la asignación de un color (a menudo llamado valor de espín) a cada vértice) y puede definirse en cualquier gráfico, donde los parámetros como la temperatura o el campo aplicado cambian la medida sobre el conjunto de coloraciones de los vértices del gráfico, por ejemplo, a bajas temperaturas, se prefieren las coloraciones con el mismo color en los vértices vecinos. Tal y como se estudia habitualmente en física, el modelo de Potts (y otros modelos de este tipo) se coloca en grafos periódicos (a menudo llamados "celosías" en física), como el grafo de celosía cuadrada, el grafo de celosía triangular, etc. Los polinomios cromático y de Tutte aparecen cuando se calcula la "función de partición" asociada al modelo, que es una cantidad parecida a una función generadora... este párrafo es un poco tosco, así que me remito a las otras referencias.

Hágame saber si tiene alguna pregunta. Podría hablar de estas cosas todo el día.

Answer 2

Hay un par de referencias que creo que son bastante decentes sobre este tema:

1. Modelo de Potts y problemas relacionados en mecánica estadística (véase el capítulo 1.5);
2. El modelo Potts (ver también, Teoría de nudos y mecánica estadística ).

Estas dos referencias hablan del polinomio cromático: a grandes rasgos, se puede hacer que el número de estados en el modelo de Potts sea análogo a un cierto número de colores, y el polinomio cromático surge de la Función de Partición del sistema (tras un cambio de variables adecuado).

Un concepto clave en este juego se llama variables de bloque Es decir, simplemente se recorre el entramado buscando sitios del mismo estado y uniendo los adyacentes. Después de realizar esta operación en todo el entramado, terminas con "bloques" de sitios de "mismo estado", que simplemente defines como tus "nuevas variables" y las llamas "variables de bloque".

Tenga en cuenta que sólo puede hacer esto porque, en principio, tiene un sistema finito y una suma finita que define su Función de Partición: en este sentido, las "variables de bloque" no son más que una simple reordenación de la suma que define la Función de Partición. Entonces, su Función de Partición original,

$$ \mathcal{Z} = \sum_{{s}} e^{-\beta\, \sum_{\langle i\, j\rangle} \delta_{s_i,\, s_j}} = \sum_{{s}} \prod_{\langle i\, j\rangle} e^{-\beta\, \delta_{s_i,\, s_j}} \; ; $$

se puede reescribir como,

$$ \mathcal{Z} = \sum_{{s}} \prod_{\langle i\, j\rangle} (1 + v\, \delta_{s_i,\, s_j}) \; ; $$

donde $ v = e^{-\beta} - 1$ y se puede derivar el polinomio cromático de esta última expresión.

Una forma de pensar en este problema es la siguiente: piensa que tienes un estado inicial y otro final, es decir, una configuración inicial de la red y otra final, donde la configuración es una distribución de "espín" ("estado") dada o, análogamente, una distribución de "color" dada.

Si piensas en tus "colores" como "bolas de billar", puedes pensar en el proceso de pasar del estado inicial al final como una secuencia de dispersiones entre todos los sitios de tu entramado. De esta forma puedes construir un gráfico orientado desde el estado inicial descendiendo hasta el final y, en cierto sentido, la "extremización" (minimización) de la Función de Partición es un algoritmo de ordenación para recorrer este gráfico de forma "eficiente".

De todos modos, espero que esto te dé una idea de cómo funcionan las cosas.