Encontré este teorema que parece esbozar una forma de encontrar raíces de un polinomio que tienen multiplicidad. El problema es que no lo puedo entender.
¡Quizás ustedes puedan ayudar!
Método práctico para encontrar las raíces iguales:
Sea $f(x)=X_1X_2^2X_3^3X_4^4X_5^5\ldots X_m^m$, donde$$\begin{align*} & X_1\equiv\text{producto de todos los factores como }(x-a)\\ & X_2^2\equiv\qquad\qquad\text{,,}\qquad\qquad\text{,,}\qquad\hspace{7mm}(x-a)^2\\ & X_3^3\equiv\qquad\qquad\text{,,}\qquad\qquad\text{,,}\qquad\hspace{7mm}(x-a)^3\end{align*}$$ $$\begin{align*} & \text{Encuentre el máximo común divisor de }f(x)\text{ y }f'(x)=F_1(x)\text{ digamos}\\ & \qquad\qquad\qquad\text{,,}\qquad\qquad\qquad\text{,,}\qquad\hspace{3mm}\qquad F_1(x)\text{ y } F_1'(x)=F_2(x),\\ & \qquad\qquad\qquad\text{,,}\qquad\qquad\qquad\text{,,}\qquad\qquad\hspace{3mm}F_2(x)\text{ y }F_2'(x)=F_3(x),\\ & \ldots\qquad\qquad\qquad\ldots\qquad\qquad\qquad\ldots\qquad\qquad\qquad\ldots\qquad\qquad\ldots\end{align*}$$ Por último, el máximo común divisor de $F_{m-1}(x)$ y $F'_{m-1}(x)=F_m(x)=1$. Luego, realice las divisiones$$\begin{align*} & f(x)\div F_1(x)=\phi_1(x)\text{ digamos},\\ & F_1(x)\div F_2(x)=\phi_2(x),\\ & \qquad\ldots\qquad\ldots\qquad\ldots\\ & F_{m-1}(x)\div 1=\phi_m(x)\end{align*}$$ Y finalmente$$\begin{align*} & \phi_1(x)\div\phi_2(x)=X_1\\ & \phi_2(x)\div\phi_3(x)=X_2\\ & \ldots\qquad\ldots\qquad\ldots\\ & \phi_{m-1}(x)\div\phi_m(x)=X_{m-1}\\ & F_{m-1}(x)=\phi_m(x)=X_m\end{align*}$$
No estoy seguro de qué hacer. No puedo entender el método en absoluto. Supongo que el polinomio dado es de la forma $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$ porque entonces las raíces de multiplicidad serían triviales.
Sin embargo, si ese fuera el caso, ¿qué sería $X_i^i$?
