Prueba de Convergencia de la Suma de Componentes en un Espacio de Hilbert

Question

Recientemente comencé a estudiar las fascinantes estructuras matemáticas de los espacios de Hilbert. Como físico, trabajé con espacios de Hilbert en mecánica cuántica sin conocer la definición rigurosa de lo que son.

Estaba estudiando la completitud del espacio de Hilbert y una base de dicho espacio. Se supone que debo demostrar lo siguiente: $$ \text{Si } \{ |e_i\rangle \} \text{ es una secuencia infinita de kets ortonormales en } \mathscr{H} \text{, entonces para cualquier ket } |f\rangle \in \mathscr{H},\\ \text{la serie }\sum_{i=1}^\infty {|e_i\rangle \langle e_i|f \rangle} \text{ converge en } \mathscr{H}. $$

Mi intento fue definir una secuencia de kets $| a_n \rangle := \sum_{i=1}^{n}{|e_i\rangle \langle e_i|f \rangle}$ y demostrar que es una secuencia de Cauchy, es decir, que la norma $\lVert |a_i\rangle - |a_j\rangle \rVert$ se acerca arbitrariamente a cero para $i, j$ suficientemente grandes. Sin embargo, no logro entender cómo se debe hacer esto, especialmente porque no se asume la completitud de la base elegida. Cualquier pista sería apreciada. Gracias.

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PD: En caso de que existan muchas convenciones en la definición de espacios de Hilbert, declaro la versión con la que estoy trabajando.

• El espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ es un espacio vectorial sobre el campo de números complejos $\mathbb{C}$.
• Tiene un producto interno $\left< \cdot, \cdot \right>$ que define la norma $\lVert \cdot \rVert$ en el espacio.
• Es completo, es decir, cada secuencia de Cauchy en $\mathscr{H}$ converge a un ket en $\mathscr{H}$.

Answer 1

[Nota que omito la notación bra-ket en mi respuesta, ya que no estoy familiarizado con ella]

Tienes la idea correcta: necesitas demostrar que $(a_n)_{n\ge1}$ es una sucesión de Cauchy. La prueba de ese hecho se basa en la ortonormalidad de la familia $(e_k)_{k\ge 1}$: sin pérdida de generalidad, asumimos $1\le i, entonces tenemos

$$\begin{align*}\|a_i - a_j\|^2 &= \left\|\sum_{k=1}^i\langle e_k,f\rangle e_k - \sum_{k=1}^j\langle e_k,f\rangle e_k\right\|^2\\ &=\left\|\sum_{k=i+1}^j\langle e_k,f\rangle e_k\right\|^2\\ &=\sum_{k=i+1}^j|\langle e_k,f\rangle|^2\end{align*} $$

Donde la última igualdad se sigue de la ortonormalidad.

Todo lo que necesitamos ahora es demostrar que $S_n := \sum_{k=1}^n|\langle e_k,f\rangle|^2$ converge a un número real a medida que $n\to\infty$ para concluir que $(a_n)_{n\ge 1}$ es de Cauchy. La convergencia de esta suma se deduce de la desigualdad de Bessel, que se prueba de la siguiente manera: $$\begin{align*}0\le \left\|f - \sum_{k=1}^n\langle e_k,f\rangle e_k \right\|^2 &= \|f\|^2 - 2\sum_{k=1}^n\langle e_k,f\rangle\langle e_k,f\rangle + S_n\\ &= \|f\|^2 - S_n \end{align*} $$ Por lo tanto, tenemos que para todo $n$, $S_n\le \|f\|^2$, lo que implica que $\lim_\limits{n\to\infty}S_n <\infty $ y $(a_n)_{n\ge 1}$ es de Cauchy, como se deseaba.