Convergencia en la distribución al límite normal implica convergencia en

Question

Si $\sqrt{n} (X_n - \beta) \overset{d}{\to} N(0, \Sigma)$ ¿es el caso que $X_n \overset{p}{\to} \beta$?

Answer 1

Es.

Arreglemos algunos $x\gt0$ y, para cada $n$, sea $A_n=[\|X_n-\beta\|\geqslant x]$. Entonces la tarea es mostrar que $$ \lim\limits_{n\to\infty}\mathbb P(A_n)=0. $$ Para cada $t\geqslant0$, existe un $N_t$ finito tal que $A_n\subseteq [\sqrt{n}\|X_n-\beta\|\geqslant t]$ para cada $n\geqslant N_t$ (elija cualquier $N_t\geqslant (t/x)^2$). Por lo tanto, $\mathbb P(A_n)\leqslant\mathbb P(\sqrt{n}\|X_n-\beta\|\geqslant t)$ para cada $n\geqslant N_t$.

Por hipótesis, $\mathbb P(\sqrt{n}\|X_n-\beta\|\geqslant t)\to\mathbb P(\|Y\|\geqslant t)$ cuando $n\to\infty$, donde $Y$ es normal, por lo tanto $\limsup\limits_{n\to\infty}\mathbb P(A_n)\leqslant\mathbb P(\|Y\|\geqslant t)$. Dado que esta desigualdad se cumple para cada $t\geqslant0$ e $\inf\limits_{t\geqslant0}\mathbb P(\|Y\|\geqslant t)=0$, se ve que $\limsup\limits_{n\to\infty}\mathbb P(A_n)\leqslant0$, es decir, $\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb P(A_n)=0$.

Esto prueba que $\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb P(\|X_n-\beta\|\geqslant x)=0$, para cada $x\gt0$. Por lo tanto, $X_n\to\beta$ en probabilidad.