Suponiendo que n es impar, utilizando lo observado acerca de emparejar x con -x \pmod n, el producto de todos los elementos en \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^\times es igual a (-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}T_n^2 \pmod n, por lo tanto, la pregunta es equivalente a encontrar n tal que el producto de todos los elementos en \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^\times sea igual a 1 \pmod n.
Pero ahora puedes emparejar cada unidad con su inverso multiplicativo x \leftrightarrow x^{-1} \pmod n, siempre y cuando sean distintos, y obtendrás un producto de 1. Por lo tanto, los únicos términos que contribuyen al producto son los elementos que son soluciones de x^2 = 1 \pmod n.
Pero -1 siempre será una de esas soluciones, por lo que necesitarás al menos una solución no trivial adicional a la ecuación (de hecho, obtendrás dos de forma gratuita debido al emparejamiento x \leftrightarrow -x). La primera vez que esto sucede para n impar es cuando n = 3 \times 5 = 15, que tiene soluciones \pm 1, \pm 4.
Y de hecho, podemos verificar que n = 15 cumple con los requisitos.