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Encuentra n3 impar tal que : Tn2(1)φ(n)2

Sea Tn el producto de números menores que [n2] y coprimos a n. Encuentra n3 impar tal que:

T_n^2 \equiv (-1)^{\frac {\varphi (n)}{2}} \pmod n

Esto es todo lo que hice:

Es fácil ver que cuando \gcd(a,n) = 1, entonces \gcd(n-a,n) =1

Así que solo tenemos que encontrar n tal que:

a_1a_2a_3\cdots a_{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n

Es fácil ver que n no puede ser primo según el teorema de Wilson: (p-1)! \equiv -1 \pmod p

Pero en este punto no tengo ni idea, espero obtener ayuda de todos. ¡Muchas gracias a todos!

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Tob Ernack Puntos 58

Suponiendo que n es impar, utilizando lo observado acerca de emparejar x con -x \pmod n, el producto de todos los elementos en \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^\times es igual a (-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}T_n^2 \pmod n, por lo tanto, la pregunta es equivalente a encontrar n tal que el producto de todos los elementos en \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^\times sea igual a 1 \pmod n.

Pero ahora puedes emparejar cada unidad con su inverso multiplicativo x \leftrightarrow x^{-1} \pmod n, siempre y cuando sean distintos, y obtendrás un producto de 1. Por lo tanto, los únicos términos que contribuyen al producto son los elementos que son soluciones de x^2 = 1 \pmod n.

Pero -1 siempre será una de esas soluciones, por lo que necesitarás al menos una solución no trivial adicional a la ecuación (de hecho, obtendrás dos de forma gratuita debido al emparejamiento x \leftrightarrow -x). La primera vez que esto sucede para n impar es cuando n = 3 \times 5 = 15, que tiene soluciones \pm 1, \pm 4.

Y de hecho, podemos verificar que n = 15 cumple con los requisitos.

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