Encuentra $n \geq 3$ impar tal que : ${T_n} ^ 2 \equiv (-1)^{\frac {\varphi (n)}{2}}$

Question

Sea $T_n$ el producto de números menores que $[\frac{n}{2}]$ y coprimos a $n$. Encuentra $n \geq 3$ impar tal que:

$$T_n^2 \equiv (-1)^{\frac {\varphi (n)}{2}} \pmod n$$

Esto es todo lo que hice:

Es fácil ver que cuando $\gcd(a,n) = 1$, entonces $\gcd(n-a,n) =1$

Así que solo tenemos que encontrar $n$ tal que:

$$a_1a_2a_3\cdots a_{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n $$

Es fácil ver que $n$ no puede ser primo según el teorema de Wilson: $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$

Pero en este punto no tengo ni idea, espero obtener ayuda de todos. ¡Muchas gracias a todos!

Answer 1

Suponiendo que $n$ es impar, utilizando lo observado acerca de emparejar $x$ con $-x \pmod n$, el producto de todos los elementos en $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^\times$ es igual a $(-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}T_n^2 \pmod n$, por lo tanto, la pregunta es equivalente a encontrar $n$ tal que el producto de todos los elementos en $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^\times$ sea igual a $1 \pmod n$.

Pero ahora puedes emparejar cada unidad con su inverso multiplicativo $x \leftrightarrow x^{-1} \pmod n$, siempre y cuando sean distintos, y obtendrás un producto de $1$. Por lo tanto, los únicos términos que contribuyen al producto son los elementos que son soluciones de $x^2 = 1 \pmod n$.

Pero $-1$ siempre será una de esas soluciones, por lo que necesitarás al menos una solución no trivial adicional a la ecuación (de hecho, obtendrás dos de forma gratuita debido al emparejamiento $x \leftrightarrow -x$). La primera vez que esto sucede para $n$ impar es cuando $n = 3 \times 5 = 15$, que tiene soluciones $\pm 1, \pm 4$.

Y de hecho, podemos verificar que $n = 15$ cumple con los requisitos.