Existencia de una matriz de raíz cuadrada $B \in \mathbb{C}^{2\times 2}$ para cualquier $A \in \mathbb{C}^{2\times 2}$, donde $A^2\neq 0$.

Question

Estoy tratando de demostrar que para cualquier $A \in \mathbb{C}^{2\times 2}$ con $A^2\neq 0$, existe $B \in \mathbb{C}^{2\times 2}$ tal que $BB=A.

He intentado el enfoque de una matriz A y B generales con entradas variables $$B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$ $$A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{bmatrix}$$

y asumiendo que $BB=A$, obtengo las ecuaciones

$$a^2+bc=\alpha$$ $$b(a+d)=\beta$$ $$c(a+d)=\gamma$$ $$d²+cb=\delta$$

Sin embargo, aquí me quedo atascado ya que no sé si alguna de esas variables es $0$, por lo que no puedo operar con esas ecuaciones.

He visto una solución en Wikipedia, sin embargo me parece que cae del cielo, especialmente las restricciones que impone.

También encontré un hilo, que muestra que sin la restricción $A^2\neq0$, esta afirmación es falsa, sin embargo no logro ver cómo esta es la restricción crítica.

Cualquier explicación, aclaración o pista sobre alguna de las cosas que mencioné es bienvenida.

Answer 1

Ya sea que $A$ sea similar a una matriz diagonal, de la cual podemos encontrar fácilmente una raíz cuadrada. O es similar a una matriz triangular superior $\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}$. Tenga en cuenta que $x^2=\lambda$ implica $\begin{pmatrix}x&y\\0&x\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}\lambda&2xy\\0&\lambda\end{pmatrix}$, por lo que $y=\frac1{2x}$ nos da una solución (ya que $x\ne0$).

Answer 2

Tenemos las ecuaciones \begin{eqnarray*} a^2+bc= A \\ b(a+d)=B \\ c(a+d)=C \\ bc+d^2=D \end{eqnarray*} Multiplicamos la primera ecuación por $(a+d)^2$ y usando la segunda y la tercera obtenemos \begin{eqnarray*} a^2(a+d)^2 +BC=A(a+d)^2 \\ d= -a +\sqrt{\frac{BC}{A-a^2}}. \end{eqnarray*} Ahora restamos la primera y la cuarta \begin{eqnarray*} a^2-d^2=A-D \\ \end{eqnarray*} Sustituimos por $d$ y obtenemos \begin{eqnarray*} a^2-A+D= \left( -a +\sqrt{\frac{BC}{A-a^2}} \right)^2 \\ D-A-\frac{BC}{A-a^2}=-2a \sqrt{\frac{BC}{A-a^2}} \end{eqnarray*} Elevamos al cuadrado esta expresión y obtenemos una ecuación cuadrática en $a^2$ \begin{eqnarray*} a^4((D-A)^2+4BC)+a^2(-2A(D-A)^2-2BC(A-D)-4ABC)+A^2(D-A)^2-2ABC(D-A)+B^2C^2=0 \end{eqnarray*} Observa que esto tiene un discriminante $ \Delta=4B^2C^2(AD-BC)$. Esto nos da \begin{eqnarray*} a^2= \frac{A(A-D)^2+BC(3A-D) \mp 2BC \sqrt{AD-BC}}{(a-d)^2+4BC} \\ =A-\frac{BC}{A+D \pm 2 \sqrt{AD-BC}} \end{eqnarray*} Una vez que se haya asentado el polvo ... \begin{eqnarray*} \sqrt{\left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D\\ \end{array} \right]}=\left[ \begin{array}{cc} \sqrt{A-\frac{BC}{A+D \pm 2 \sqrt{AD-BC}} } & \frac{B}{\sqrt{A+D \pm 2 \sqrt{AD-BC}}} \\ \frac{C}{\sqrt{A+D \pm 2 \sqrt{AD-BC}}} & \sqrt{D-\frac{BC}{A+D \pm 2 \sqrt{AD-BC}} } \\ \end{array} \right] \end{eqnarray*}