Deje $a,b\in \mathbb{Z}$$a,b>1$, y de tal manera que $b \mid a^2+1$$a^2 \mid b^3+1$. Encontrar todos $a,b$.
Encontré $a=3,b=2$. Hay otras soluciones? Gracias.
ayer me han de encontrar este
desde $a,b>1$ $(a,b)=(3,2)$ o $(a,b)=(3,5)
Respuesta
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Supongamos $(a, b)$ es una solución con $a, b \in \mathbb{Z}, a, b>1$. Si $b=a^2+1$,$a^2 \mid (b^3+1)=(a^2+1)^3+1$$a^2 \mid 2$, lo $a=1$, una contradicción. Por lo tanto $\frac{a^2+1}{b}$ es un número entero positivo $>1$. Tenga en cuenta que $a^2 \mid (\frac{a^2+1}{b})^3(b^3+1)=(a^2+1)^3+(\frac{a^2+1}{b})^3$, lo $a^2 \mid 1+(\frac{a^2+1}{b})^3$, por lo que si $(a, b)$ es una solución, por lo que es $(a, \frac{a^2+1}{b})$. Tenga en cuenta que, al menos,$1$$b, \frac{a^2+1}{b}$$\leq a$. (De lo contrario $a^2+1=b(\frac{a^2+1}{b}) \geq (a+1)^2$, lo cual es imposible) por lo tanto, basta considerar el caso en que $b \leq a$, ya que cualquier solución con $b>a$ puede ser asignado a una solución con $b \leq a$ por encima.
Si $b=a$,$b\mid a^2+1=b^2+1$, lo $b \mid 1$, lo $b=1$, una contradicción. Por lo tanto $a \geq b+1$. Escribir $b^3+1=ca^2$,$b \mid c(a^2+1)=(b^3+1)+c$$b \mid c+1$. Por lo tanto $c+1 \geq b$. Por lo tanto,$b^3+1=ca^2 \geq (b-1)(b+1)^2=b^3+b^2-b-1$$0 \geq b^2-b-2=(b-2)(b+1)$, lo $b \leq 2$, lo $b=2$. Por lo tanto $a^2 \mid (2^3+1)=9$, lo $a=3$.
Finalmente, todas las soluciones están dadas por $(a, b)=(3, 2)$$(a, b)=(3, \frac{3^2+1}{2})=(3, 5)$. Estas soluciones se pueden comprobar fácilmente para trabajar.
