El Grupo Periódico de Schrödinger

Question

He estado trabajando en el artículo de Bourgain 'Desigualdades de momentos para polinomios trigonométricos con espectro en hipersuperficies curvadas' para mi tesis de maestría y todo iba muy bien hasta que llegué a la última sección donde comienza con aplicaciones en el Laplaciano; e introduce $e^{it\Delta}$, el grupo periódico de Schrödinger ...

Me doy cuenta de que este podría no ser el mejor lugar para preguntar esto; y he intentado buscar en los documentos anteriores de Bourgain una definición sin éxito, ¿podría alguien por favor decirme qué es $e^{it\Delta}$?

Answer 1

$e^{it\Delta}$ es el multiplicador de Fourier $e^{-4it\pi^2\vert D\vert^2}$, es decir, el operador definido por $$ (e^{it\Delta} u)(x)=\int_{\mathbb R ^d} e^{2i\pi x \xi}e^{-4it\pi^2\vert \xi\vert^2}\hat u(\xi) d\xi. $$ También es la convolución con $E(t)$, digamos para $t>0$, $$ E(t)(x)=e^{-i(d-2)\pi/4}(4\pi t)^{-d/2}e^{i\vert x\vert^2 /(4t)},\quad (e^{it\Delta} u)(x)=(E(t)\ast u)(x). $$ La definición del multiplicador de Fourier es la más simple.

Answer 2

Heurísticamente es lo que sugiere Ryan Budney, pero por supuesto no tiene sentido como serie de potencias, solo para los llamados vectores analíticos (que sin embargo son densos en este caso).

Normalmente se define esto a través de la teoría espectral de operadores autoadjuntos, ver por ejemplo

Weidmann: Operadores lineales en espacio de Hilbert, Sección 7.6.

La construcción para demostrar que el teorema espectral en este caso se reduce al operador siendo un multiplicador de Fourier se describe en el Capítulo 10.