Supongamos que $a$ es un escalar y $\vec{v}$ es un vector, $a\vec{v}=0$ implica que $a=0$ o $\vec{v}=0$

Question

Le pregunté a un graduado en matemáticas algo sobre esta afirmación:

$\text{Supongamos que }a \text{ es un escalar y } \vec{v} \text{ es un vector en } V, a\vec{v}=0 \text{ implica que } a=0 \text{ o } \vec{v}=0$

Sabía que $a\ne 0$ luego la prueba de que $v=0$. Le pregunté otras cosas sobre la afirmación y luego intentó demostrarlo por contraposición. Estaba un poco confundido por su prueba, pero no tuve suficiente tiempo para discutir con él.

A continuación está su prueba.

Prueba:
demostrar por contraposición. La afirmación contrapositiva es “Supongamos que $a$ es un escalar y $\vec{v}$ es un vector en $V$, $a\ne 0$ y $\vec{v}\ne 0$ implican que $a\vec{v}\ne 0$”.

Sea $v\in V$ y $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$ una base de $V$, entonces podemos escribir $$v= \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ ...\\ v_n \end{bmatrix} $$ con respecto a la base. (Pregunté qué pasa si $V$ es de dimensión infinita, y él dijo que algunos espacios vectoriales infinitos tienen una base pero no está probado que todos tengan una base, así que asumimos que hay una base para todos (olvidé exactamente lo que dijo, ya que estaba un poco confundido))

$$a\vec{v} = a \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ ...\\ v_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} av_1\\ av_2\\ ...\\ av_n \end{bmatrix} $$

Si $\vec{v}\ne 0$, existe $v_i\ne 0$ tal que $av_i\ne 0$ (Creo que esto es cierto si $v_i$ es un escalar, pero $v_i$ no tiene que ser un escalar ya que $V$ es un espacio vectorial aleatorio, ¿verdad?), entonces al menos una entrada de $a\vec{v}$ no es cero, $a\vec{v}\ne 0$.

Luego termina.

Las palabras en negritas son mis preguntas, y me pregunto si esta prueba también se aplica a $V$ de dimensión infinita como él dijo. ¿Hay una mejor prueba por contraposición para esta? Conozco la prueba de contradicción que es mucho más fácil, pero me pregunto sobre una prueba por contraposición ya que él ya la mencionó.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Esta sencilla demostración se aplica incluso si el espacio vectorial tiene dimensión infinita. Recordemos que todos los espacios vectoriales $K$ satisfacen la propiedad del elemento identidad de la multiplicación escalar, es decir, $1.\vec{v}=\vec{v}$, donde $1\in K$.

Entonces, si $a=0$ la afirmación es obvia, así que supongamos $a\neq 0$, entonces podemos multiplicar $a.\vec{v}=0$ a ambos lados por $\frac{1}{a}$, entonces tenemos $\frac{1}{a}.(a.\vec{v})=0$ y si aplicamos aquí la compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación en el campo obtenemos $(\frac{1}{a}a).\vec{v}=0$ o $1.\vec{v}=0$, pero sabemos que el lado izquierdo es simplemente $v$, entonces $\vec{v}=0$.

Espero haber sido claro.

Answer 2

No es necesario un elemento base para demostrar esto. Primero, consideremos un escalar $\alpha \neq 0$ luego, si $\alpha v = 0$, multiplicamos a la izquierda por $\alpha^{-1}$ para obtener $v=0$.

Ahora, si $\alpha = 0$, entonces notamos que $v+v = 2v$ y así $0v + 0v = 2(0v)=0v$, y ahora sumamos $-0v$ a ambos lados de $0v + 0v = 0v$ lo que nos da $0v=0$ como se deseaba.