Supongamos que tengo una secuencia de variables aleatorias $X_{n,i}$ con $i=1,...,n$. Cada una de estas variables aleatorias está estrictamente limitada entre $-1$ y $1$. Sé que cada una de estas variables aleatorias se acerca cada vez más a $1$ a medida que $n$ crece.
En específico, sé que
$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[\prod_{i=1}^n \frac{1+X_{n,i}}{2}] = 1$$
De hecho, sé que para cada secuencia de subconjuntos $A_n$ de $\{1,...,n\}$, tengo
$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[\prod_{i\in A_n} \frac{1+X_{n,i}}{2}] = 1$$
También sé que para cualquier subconjunto $A_n$ de ese tipo, las variables aleatorias están positivamente correlacionadas en el sentido de que
$$\mathbb{E}[\prod_{i\in A_n} X_{n,i}] \geq \prod_{i\in A_n}\mathbb{E}[ X_{n,i}]$$
Estas restricciones me brindan un conocimiento interesante. Por ejemplo, si considero el subconjunto $A_n = \{1 \}$, puedo ver que $\frac{1+\lim_{n\to \infty} \mathbb{E}[X_{n,1}]}{2} =1$, de modo que $\lim_{n\to \infty} \mathbb{E}[X_{n,1}] =1$. De manera más general, puedo ver que para cualquier entero positivo $m$, $\lim_{n\to \infty} \mathbb{E}[X_{n,m}] =1$. Incluso de manera más general, puedo ver que cantidades como $\lim_{n\to \infty} \mathbb{E}[X_{n,1}...X_{n,10}] =1$.
¿Sin embargo, se garantiza que $$\lim_{n\to \infty} \mathbb{E}[ \prod_{i=1}^n X_{n,i}] = 1?$$
Si las variables aleatorias son independientes, la respuesta es sí. Podemos ver esto desde el siguiente argumento.
Para variables aleatorias independientes, sabemos que $\mathbb{E}[\prod_{i=1}^n \frac{1+X_{n,i}}{2}] = \prod_{i=1}^n \frac{1+\mathbb{E}[X_{n,i}]}{2}$ y $\mathbb{E}[ \prod_{i=1}^n X_{n,i}] = \prod_{i=1}^n \mathbb{E}[ X_{n,i}]$.
Será útil escribir $y_{n,i} = \frac{1}{2}(1-\mathbb{E}[X_{n,i}])$, y notar que $y_{n,i}$ está limitado entre $0$ y $\frac{1}{2}$.
Entonces
$$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[\prod_{i=1}^n \frac{1+X_{n,i}}{2}] = 1 \implies \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n (1-y_{n,i}) = 1$$
Nota que los límites en $y_{n,i}$ significan que $\lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n (1-y_{n,i}) = 1$ implica que $\lim_{n\to \infty} \max_i y_{n,i} = 0$.
Nota que $\mathbb{E}[ \prod_{i=1}^n X_{n,i}] = \prod_{i=1}^n (1-2 y_{n,i})$.
Podemos usar que $\lim_{n\to \infty} \max_i y_{n,i} = 0$ para notar que $$\lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n (1-2 y_{n,i}) \geq \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n (1- y_{n,i})^3$$ por lo que $\lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n (1-2 y_{n,i}) \geq 1$. Dado que $\lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n (1-2 y_{n,i}) \leq 1$ trivialmente, tenemos $\lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n (1-2 y_{n,i}) = 1$.
La prueba fue directa para este caso de variables independientes, pero no veo una extensión a variables positivamente correlacionadas más generales. Por positivamente correlacionadas, me refiero en el sentido anterior de $\mathbb{E}[\prod_{i\in A_n} X_{n,i}] \geq \prod_{i\in A_n}\mathbb{E}[ X_{n,i}]$. Mi esperanza es que una prueba similar pueda realizarse, pero también aceptaré contraejemplos.
