¿Cómo puedo demostrar que algo es cierto si $n$ es lo suficientemente grande?

Question

Estoy estudiando para un examen, pero me cuesta entender cómo demostrar que algo es verdadero si $n$ es suficientemente grande. Por ejemplo, si me dan $P(n): 2n^3 - 7n^2 \geq 7n -1$, entiendo que necesito encontrar un $a$ tal que todos los $n \geq a$ hagan que $P(x)$ sea verdadero. Simplemente no estoy seguro de cómo hacerlo.

Intenté factorizar el $n$ pero no veo cómo eso me ayudaría. ¿Cómo puedo transformar una desigualdad como la anterior para que sea más obvia? Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Para este ejemplo particular, un enfoque sin usar cálculo o inducción sería:

$2n^3-7n^2 = n^2(2n-7) \gt 4(2n-7) \text{ si } n \gt 2$

y

$4(2n-7) = 8n-28 \gt 7n-1 \text{ si } n \gt 27$

entonces si $n \gt 27$ tenemos

$2n^3 - 7n^2 \gt 8n - 28 \gt 7n - 1$