Encuentre dónde $f(z)=\mathrm{Log}\left(\frac{z-\alpha}{z-\beta}\right)$ está definida y continua

Question

Sean $\alpha,\beta\in\mathbb C$ y sea $f(z):\mathbb C \to \mathbb C$ tal que:

$$f(z)=\mathrm{Log}\left(\frac{z-\alpha}{z-\beta}\right)$$

Sabemos que la rama principal de $\log(w)$ (denotada como $\mathrm{Log}(w)$) está definida y es continua para todo $w\in\mathbb C\setminus A$ cuando:

$$A=\left\{w\in\mathbb C\mid \Im(w)=0, \Re(w)\leq 0 \right\}$$

Mi objetivo es encontrar donde $f$ está definida y continua. Para eso, sustituí $w=\frac{z-\alpha}{z-\beta}$ e intenté calcular las partes real e imaginaria de $w$, pero resultó ser una pesadilla algebraica. Logré simplificar las cosas, pero la condición que obtuve es una ecuación que depende de $\Re(z),\Im(z),\Re(\alpha),\Im(\alpha),\Re(\beta)$ y $\Im(\beta)$, lo que dificulta definir el dominio correctamente.

Me alegraría ver sus formas de encontrar el dominio de la función anterior $f$; Deben ser mejores que las mías.

¡Gracias!

Answer 1

Dos opciones:

1. Desplazar la variable para facilitar las cosas y luego revertir al final: colocar $u=z+\beta$. Entonces $$ f(u+\beta) = \operatorname{Log}\bigg( \frac{u+\beta-\alpha}{u}\bigg) = \operatorname{Log}\bigg( 1 + \frac{\beta-\alpha}{u}\bigg) $$ y ahora todo lo que tienes que hacer es encontrar cuándo $1+(\beta-\alpha)/u$ es no positivo.

2. Sabemos el conjunto donde $\operatorname{Log}(w)$ está definido, con $w=g(z)$, así que si podemos encontrar la imagen inversa de este conjunto bajo $g$, descubrimos dónde está definido $\operatorname{Log}(g(z))$. Es decir, resolver $$ w = \frac{z-\alpha}{z-\beta} $$ para $z$, y averiguar a dónde va el conjunto de $w \in A$.

De cualquier manera, resulta ser el complemento del segmento de línea que une $\beta$ con $\alpha$ (incluyendo los extremos).

Answer 2

Dado que $\mathrm{Log}$ es discontinua (y no holomorfa) en $D=(-\infty,0]\times \{0\}$, la función $f$ es discontinua (y no holomorfa) en $z$ si y solo si $$\frac{z-\alpha}{z-\beta}\in D=(-\infty,0]\times \{0\},$$ es decir: $$\mathrm{Re}\left(\frac{z-\alpha}{z-\beta}\right)\leqslant 0$$ y $$\mathrm{Im}\left(\frac{z-\alpha}{z-\beta}\right)= 0.$$ Dado que $$\frac{z-\alpha}{z-\beta}=\frac{(z-\alpha)(\overline{z}-\overline{\beta})}{|z-\beta|^2}=\frac{z\overline{z}-z\overline{\beta}-\alpha \overline{z}+\alpha \overline{\beta}}{|z-\beta|^2},$$ obtenemos:

$$\mathrm{Re}\left(\frac{z-\alpha}{z-\beta}\right)=\frac{|z|^2-\mathrm{Re}(z\overline{\beta})-\mathrm{Re}(\alpha \overline{z})+\mathrm{Re}(\alpha \overline{\beta})}{|z-\beta|^2},$$ $$\mathrm{Im}\left(\frac{z-\alpha}{z-\beta}\right)=\frac{-\mathrm{Im}(z\overline{\beta})-\mathrm{Im}(\alpha \overline{z})+\mathrm{Im}(\alpha \overline{\beta})}{|z-\beta|^2}.$$ Entonces $$\mathrm{Re}\left(\frac{z-\alpha}{z-\beta}\right)\leqslant 0\iff |z|^2-\mathrm{Re}(z\overline{\beta})-\mathrm{Re}(\alpha \overline{z})+\mathrm{Re}(\alpha \overline{\beta})\leqslant 0$$ y: $$\mathrm{Im}\left(\frac{z-\alpha}{z-\beta}\right)=0\iff -\mathrm{Im}(z\overline{\beta})-\mathrm{Im}(\alpha \overline{z})+\mathrm{Im}(\alpha \overline{\beta})=0.$$ Definiendo $$A=\{z:-\mathrm{Im}(z\overline{\beta})-\mathrm{Im}(\alpha \overline{z})+\mathrm{Im}(\alpha \overline{\beta})=0 \textrm{ y } |z|^2-\mathrm{Re}(z\overline{\beta})-\mathrm{Re}(\alpha \overline{z})+\mathrm{Re}(\alpha \overline{\beta})\leqslant 0\},$$ obtenemos que $f$ es continua y holomorfa en $\mathbb{C}\setminus A.$