Supongamos que $f(x)$ es una función compleja de $x\in\mathbb{R}$ y $g(x)>1$ es una función real de $x$, donde $f,g$ son continuas, no constantes, y $f\not\equiv 0$. Tengo la corazonada, asumiendo que las integrales convergen y no son cero, que $$\left|\int_{\mathbb{R}}\frac{f(x)}{g(x)}dx\right|>\left|\int_{\mathbb{R}}\frac{f(x)}{g(x)^2}dx\right|.$$ ¿Es esto correcto? Si es así, todavía no estoy seguro de cómo intentar probarlo, pero mi intuición (correcta o incorrectamente) es que sea cual sea $f(x)$, dado que $g(x)>1$ entonces $g(x)^2>g(x)$ de manera que $$f(x)/g(x)^2
Mi intento es elevar ambos lados al cuadrado para obtener
$$\left(\int_\mathbb{R}\frac{\Re f(x)}{g(x)}\right)^2+\left(\int_\mathbb{R}\frac{\Im f(x)}{g(x)}\right)^2>\left(\int_\mathbb{R}\frac{\Re f(x)}{g(x)^2}\right)^2+\left(\int_\mathbb{R}\frac{\Im f(x)}{g(x)^2}\right)^2.$$
Reescribiendo esto como $R_1^2+I_1^2>R_2^2+I_2^2$, entonces (creo que puedo ver) claramente que $R_1^2>R_2^2$ e $I_1^2>I_2^2$.
Actualización
Según la respuesta a continuación, esta desigualdad no es cierta, lo cual puedo ver en cierto sentido, por ejemplo, supongamos que $f(x)$ fuera una función sinusoidal con rango $[-1,1]$. No hace falta mucho para imaginar que una integral sobre alguna $f(x)/g(x)$ podría sumar fácilmente a $0$ ya que los positivos y negativos podrían cancelarse, mientras que $f(x)/g(x)^2$ puede que no se intege a $0.
Sin embargo, como se señaló a continuación, creo que en cambio
$$\left|\int_{\mathbb{R}}\frac{|f(x)|}{g(x)}dx\right|>\left|\int_{\mathbb{R}}\frac{|f(x)|}{g(x)^2}dx\right|$$ es correcto.
