¿Cómo demostrar esta prueba delta-epsilon que implica $x^2$?

Question

A diferencia de mi última pregunta, quiero intentar algo donde $x$ puede ser cualquier valor real en $f (x)$, por lo que no solo es $x \geq 0$. Quiero fijar un $\epsilon$ y encontrar el mayor $\delta$ con el que puedo salirme con la mía para que se cumplan las desigualdades necesarias.

$$\lim_{x \rightarrow 2} x^2= 4$$

Digamos que elijo $\epsilon = 0.5$, lo que significa que necesito encontrar algún $\delta > 0$ tal que para todo $x$ que satisfaga $0 < |x-2| < \delta$, la desigualdad $|f(x) - L| = |x^2 - 4| < 0.5$ se cumple.

1. ¿Estoy enunciando esto correctamente hasta ahora / entendiendo la relación y los objetivos delta-epsilon?

2. ¿Cómo elijo el $\delta$ correcto para algo como esto?

Tratando de simplificar:

$|x^2 - 4| < 0.5$

$|x+2||x-2| < 0.5$

$|x-2| < \frac{0.5}{|x+2|}$

Ahora estoy atascado. ¿Hay una mejor manera de abordar estos problemas? Hasta ahora he estado intentando manipular la desigualdad de epsilon para que se parezca más a la de delta y luego intentar igualar las expresiones de delta y epsilon entre sí, ¿pero quizás hay una manera más confiable de demostrar estas relaciones?

Actualización:

Intentando de otra manera:

$|x^2 - 4| < 0.5$ se simplifica a

$\sqrt{3.5} < x < \sqrt{4.5}$

Esto me da dos valores de $x$ alejados de $a=2$, ya sea $2 - \sqrt{3.5} = .1291...$ o $\sqrt{4.5} - 2 = .1213...$

Entonces, si elijo el más pequeño de los dos, $\delta = \sqrt{4.5} - 2$ ¿que satisface la condición de epsilon?

Answer 1

Consejo $$|x^{ 2 }-4|=\left| x-2 \right| \left| x-2+4 \right| <{ \left| x-2 \right| }^{ 2 }+4\left| x-2 \right|$$

Answer 2

Necesitamos demostrar que $\forall \epsilon>0$ $\exists\delta>0$ tal que

$$\forall x\neq2 \quad |x-2|<\delta \implies\left|f\left(x\right)-l\right|<\varepsilon$$

es decir

$$|x^2-4|<\epsilon\iff-\epsilon

Answer 3

Si $|x- 2| < \delta$ entonces

$- \delta < x -2 < \delta$

$2 - \delta < x < 2 + \delta$. Vamos a suponer por el momento que $\delta < 2$.

$(2- \delta)^2 < x^2 < (2+ \delta)^2$

$4 - 4\delta + \delta^2 < x^2 < 4 + 4\delta + \delta^2$

$-4\delta + \delta^2 < x^2 - 4 < 4\delta + \delta^2$.

$-4 \delta - \delta^2 < x^2 - 4 < 4\delta + \delta^2$

$|x^2 - 4| < |4\delta + \delta^2| = 4\delta + \delta^2$ (porque $\delta$ es positivo)

Entonces queremos $\epsilon \ge 4\delta + \delta^2$. Dado que sabemos cuál es $\epsilon$, ¿podemos encontrar una forma de calcular $\delta$ en términos de $\epsilon$ para que eso sea cierto?

Si asumimos que $\delta \le 1$ entonces $\delta^2 \le \delta$ por lo que $5\delta \ge 4\delta + \delta^2$.

Entonces si elegimos cualquier $\delta$ de manera que i) $\delta < 2$ y ii) $\delta \le 1$ y iii) $5\delta < \epsilon$ eso funcionará.

Por lo tanto, para cualquier $\delta < \min (\frac \epsilon 5, 1)$ eso funcionará.

Entonces para hacer la demostración:

Para cualquier $\epsilon > 0$, deja que $\delta = \min (\frac \epsilon 5, 1)$

Entonces si $|x - 2| < \delta$ implica, por todo el trabajo que hicimos arriba, que

$-5\delta \le -4\delta -\delta^2 < -4\delta + \delta^2 < x^2 -4 < 4\delta + \delta^2 \le 5\delta$ entonces

$|x^2 - 4| < 5\delta \le \epsilon$.

Y esa es la demostración.

Answer 4

Es mi opinión honesta que tu pregunta se encuentra en el ámbito de preguntas del tipo: "¿Cuál es el mejor enfoque para andar en bicicleta?" - La mayoría de respuestas que recibas te enviarán instantáneas de jinetes felices; pero en realidad no quieres estas respuestas, ¿verdad? Te sugiero que te subas a la bicicleta y sigas cayendo hasta que no lo hagas.