¿La convolución de funciones integrables es continua?

Question

Acabo de mirar a través de una página web de "mathoverflow", en https://mathoverflow.net/questions/136681/the-convolution-of-integrable-functions-is-continuous

Permítanme señalar que es suficiente que una de las funciones esté acotada (la convolución de una función $L^{1}$ y una función $L^{\infty}$ en un grupo unimodular siempre es continua).

¿Cómo se puede demostrar?

¿Existen otros métodos más discriminados sobre la "continuidad de la convolución"?

¿Cuándo es continua una convolución en grupos topológicos localmente compactos de Hausdorff?

Answer 1

Sea $G$ un grupo localmente compacto unimodular. Si $f\in L^1(G)$ y $g\in L^\infty (G)$. Entonces, $$f*g(x)-f*g(a)=\int_G (f(xy)-f(ay))g(y^{-1})dy$$ Por lo tanto, $$|f*g(x)-f*g(a)|\leq \int_G|f(xy)-f(ay)||g(y^{-1})|dy \\ \leq \|g\|_{\infty}\int_G|f(xa^{-1}y)-f(y)|dy\\ =\|g\|_{\infty}\|L_{ax^{-1}}f-f\|_1$$ Donde $L_z$ es la traslación a la izquierda por $z\in G$. Dado que la traslación a la izquierda es una aplicación continua de $G$ en $L^p(G),1\leq p<\infty$. Entonces $\|L_{ax^{-1}}f-f\|_1\to 0$ cuando $ax^{-1}\to 1$. Por lo tanto, si $x\to a$ entonces $f*g(x)\to f*g(a)$, lo que significa que $f*g$ es continua.