He leído esta pregunta anterior sobre la existencia de una extensión de Galois no trivial. Me preguntaba sobre la siguiente situación. Supongamos que $R$ es un dominio que no es un campo. ¿Cuándo tiene el cuerpo de fracciones de $R$ una extensión de Galois no trivial?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $R$ es un dominio (conmutativo) noetheriano y no es un campo, y supongamos que su clausura integral también es noetheriana. Entonces $K=\mathrm{Frac}(R)$ tiene una extensión de Galois no trivial.
Primero note que la clausura integral de $R$ no es un campo: de lo contrario, para cualquier $b \neq 0 \in R$, $1/b$ es integral sobre $R$. Escribiendo una relación integral de $1/b$ sobre $R, vemos fácilmente que $b$ es una unidad en $R$, por lo tanto, $R=K$.
Entonces podemos suponer que $R$ está cerrado integralmente. Como Ted dijo en los comentarios, tenemos que demostrar que $K$ no está cerrado de manera separable. Supongamos lo contrario. Sea $p\ge 2$ un entero, primo a la característica de $K$ si esta última tiene característica positiva. Por hipótesis, existe $b \neq 0$ y no invertible en $R$. Para cualquier $n\ge 1$, $b^{1/p^n}$ es separable sobre $K$. Entonces $b^{1/p^n} \in K$. Como es claramente integral sobre $R$, pertenece a $R$. Luego obtenemos una secuencia creciente de ideales $b^{1/p^n}R$ en $R$. Por noetherianidad, para algún $n$, tenemos $b^{1/p^{n+1}}R=b^{1/p^n}R$, por lo tanto, $b^{1/p^{n+1}} \in b^{1/p^n}R$. Esto implica inmediatamente que $b$ es una unidad. Contradicción.
Note que la condición noetheriana en la clausura integral de $R$ se cumple para una gran clase de anillos noetherianos (llamados anillos excelentes). Por ejemplo, esto es cierto si $R$ contiene a $\mathbb Q$. Creo que con un poco más de esfuerzo, uno debería ser capaz de probar la afirmación sin ninguna condición sobre la clausura integral de $R (quizás no tan fácil...).
