He leído esta pregunta anterior sobre la existencia de una extensión de Galois no trivial. Me preguntaba sobre la siguiente situación. Supongamos que R es un dominio que no es un campo. ¿Cuándo tiene el cuerpo de fracciones de R una extensión de Galois no trivial?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si R es un dominio (conmutativo) noetheriano y no es un campo, y supongamos que su clausura integral también es noetheriana. Entonces K=Frac(R) tiene una extensión de Galois no trivial.
Primero note que la clausura integral de R no es un campo: de lo contrario, para cualquier b≠0∈R, 1/b es integral sobre R. Escribiendo una relación integral de 1/b sobre R, vemos fácilmente que b es una unidad en R, por lo tanto, R=K$.
Entonces podemos suponer que R está cerrado integralmente. Como Ted dijo en los comentarios, tenemos que demostrar que K no está cerrado de manera separable. Supongamos lo contrario. Sea p\ge 2 un entero, primo a la característica de K si esta última tiene característica positiva. Por hipótesis, existe b \neq 0 y no invertible en R. Para cualquier n\ge 1, b^{1/p^n} es separable sobre K. Entonces b^{1/p^n} \in K. Como es claramente integral sobre R, pertenece a R. Luego obtenemos una secuencia creciente de ideales b^{1/p^n}R en R. Por noetherianidad, para algún n, tenemos b^{1/p^{n+1}}R=b^{1/p^n}R, por lo tanto, b^{1/p^{n+1}} \in b^{1/p^n}R. Esto implica inmediatamente que b es una unidad. Contradicción.
Note que la condición noetheriana en la clausura integral de R se cumple para una gran clase de anillos noetherianos (llamados anillos excelentes). Por ejemplo, esto es cierto si R contiene a \mathbb Q. Creo que con un poco más de esfuerzo, uno debería ser capaz de probar la afirmación sin ninguna condición sobre la clausura integral de $R (quizás no tan fácil...).
