¿Cómo calcular $\int \sqrt{x^2+6}\,dx$?

Question

¿Cómo calcular $\int \sqrt{x^2+6}\,dx$, usando la sustitución de Euler y con el uso de la fórmula: $\int u\,dv = vu - \int v\,du$. nota: lo que quiero decir con la sustitución de Euler es: cuando tenemos un integrando como $\sqrt{x^2+1}$, entonces podemos usar el truco de sustituir $t= x + \sqrt{x^2+1}$. y eso nos da: $dt=\frac{t}{\sqrt{x^2+1}} \, dx$, lo cual puede ser útil al resolver las preguntas.

aquí supongo que $u=\sqrt{x^2+6}$, y $du= \frac{x}{\sqrt{x^2+6}}\,dx

entonces: $\int u\,dv = x\sqrt{x^2+6} - \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}\,dx$, y luego me quedé atascado con la última integral. Intentar sustituir $t= x + \sqrt{x^2+6}$ en este caso no ayudó realmente. ¿Cómo puedo hacerlo especialmente de esta manera? Sé que podría haber muchas soluciones creativas, pero quiero ayuda para continuar en esa dirección.

Answer 1

Deja que tu integral sea $I$. Entonces, a partir de lo que escribiste, tenemos que $$I=x\sqrt{x^2+6}-\int\left(\frac{x^2+6}{\sqrt{x^2+6}}-\frac{6}{\sqrt{x^2+6}}\right)\,dx,$$ lo cual podemos reescribir como $$I=x\sqrt{x^2+6}-I+6\int \frac{1}{\sqrt{x^2+6}}\,dx.$$ Resuelve para $I.

La integral que queda por hacer es una simple sustitución de Euler directa $t=x+\sqrt{x^2+6}$. Luego, $\frac{dx}{\sqrt{x^2+6}}=\frac{dt}{t}$.

Answer 2

\begin{align} t & = x + \sqrt{x^2+6} \\[8pt] dt & = \left( 1 + \frac x{\sqrt{x^2+6}} \right)\,dx = \frac t {\sqrt{x^2+6}} \,dx \\[8pt] \frac{dt} t & = \frac{dx}{\sqrt{x^2+6}} \end{align} \begin{align} t & = x+\sqrt{x^2+6} \\ 2x-t & = x - \sqrt{x^2+6} \\[6pt] \text{Hence, }t(2x-t) & = -6 \\ 0 & = t^2 - 2xt -6 \\[6pt] x & = \frac{t^2-6}{2t} \\[6pt] \sqrt{x^2+6} & = \frac{t^2+6}{2t} \\[6pt] dx & = \sqrt{x^2+6}\,\frac{dt} t = \frac{(t^2+6)\,dt}{2t^2} \end{align} Por lo tanto $$ \int \sqrt{x^2+6}\ dx = \int \frac{t^2+6}{2t} \cdot \frac{(t^2+6)\,dt}{2t^2} \text{ etc.} $$

Answer 3

Para la integral \begin{align} I = \int \sqrt{ x^{2} + 6 } \, dx \end{align> deja $x = \sqrt{6} \sinh(t)$ para obtener $dx = \sqrt{6} \cosh(t) dt$ y \begin{align> I &= \int \sqrt{6} \, \sqrt{ 6 ( 1 + \sinh^{2}(t))} \, \cosh(t) \, dt \\ &= 6 \int \cosh^{2}(t) \, dt \\ &= 3 \int ( 1 + \cosh(2t)) \, dt \\ &= 3 \left[ t + \frac{\sinh(2t)}{2} \right] \\ &= 3 \left[ \sinh^{-1}\left( \frac{x}{\sqrt{6}} \right) + \frac{ x \, \sqrt{x^{2} + 6} }{ 6} \right] \end{align>

Notas: Leyendo adecuadamente la pregunta, esta solución habría sido diferente. Dicho esto, la presentación aquí es un método alternativo para resolver la integral propuesta.

Answer 4

Olvida por un segundo el estúpido número 6. Quieres una sustitución que transforme $x^2+1$ en un cuadrado perfecto. Veamos. Euler parece demasiado exagerado para algo así. Recuerda

\begin{equation} \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1 \end{equation} donde $\cosh(x)$ y $\sinh(x)$ representan funciones hiperbólicas. Debería ser bastante obvio que necesitas algo como

\begin{equation} t=\sqrt{6}\sinh(x) \end{equation}

Answer 5

Pista: intenta dejar que x = sqrt(6)tan(x) y mira qué sucede. Recuerda la identidad que 1+tan^2(x) = sec^2(x)