Cómo parametrizar una curva por su longitud de arco

Question

Estoy leyendo en Wikipedia que

''...Cualquier curva regular puede ser parametrizada por la longitud del arco (la parametrización natural) y...''

Sé que si $a(t) = (x(t),y(t),z(t))$ es una curva (digamos, suave) entonces es regular si para todo $t$: $a' (t) \neq 0$. También conozco la definición de longitud del arco:

La longitud del arco de una curva $a$ entre $t_0$ y $t$ se define como

$$ l = \int_{t_0}^t |a'(t)|dt$$

¿Pero cuál es la parametrización de $a$ utilizando su longitud de arco?

Answer 1

Simplemente si $$\alpha: I\to \mathbb{R}^3$$ es una curva regular y la longitud de arco es $$s(t)=\int_{t_0}^t |\alpha'|dt$$ Ahora resolvemos para $t$ como $t=t(s)$ para obtener la función $$t:J\to I$$ Así que definimos una nueva curva $\beta(s)=\alpha\circ t=\alpha(t(s))$ donde $$\beta: J\to I \to \mathbb{R}^3 \\ |\beta'(s)|=|\frac{d\beta}{ds}|=|\frac{d\beta}{dt}. \frac{dt}{ds}|=|\frac{d\alpha(t(s))}{dt}. \frac{1}{\alpha'(t)}|=1$$

Answer 2

"La parametrización por longitud de arco" significa que el parámetro $t$ utilizado en las ecuaciones paramétricas representa la longitud de arco a lo largo de la curva, medida desde algún punto base. Un ejemplo simple es $$ x(t) = \cos(t) \quad ; \quad y(t) = \sin(t) \quad (0 \le t \le 2\pi) $$ Esta es una parametrización del círculo unitario, y la longitud de arco desde el inicio de la curva hasta el punto $(x(t), y(t))$ es $t.

En la mayoría de los casos, no es posible encontrar fórmulas simples que den parametrizaciones por longitud de arco, por lo que todo el enfoque es un tanto académico, en mi opinión.

Answer 3

Podemos tener una buena noción de la longitud de arco incluso para algunas curvas no regulares (o ni siquiera diferenciales); todo lo que necesitamos (por definición) es que la curva $a\colon[0,b]\to \mathbb R^n$ sea rectificable, es decir: $$ l(a):=\sup\{\,d(a(0),a(t_1))+d(a(t_1),a(t_2))+\ldots+d(a(t_{n}),a(b))\mid 0

Esta $l$ nos da un mapa $\ell\colon[0,b]\to[0,\infty)$ dado por $\ell(t)=l(a|_{[0,t]})$ (porque automáticamente todas estas restricciones también son rectificables). Entonces $\ell(0)=0$, $\ell(b)=l(a)$, $\ell$ es continua y estrictamente creciente. Por lo tanto, $\ell^{-1}\colon[0,l(a)]\to[0,b]$ existe y nos permite reparametrizar nuestra curva como $\hat a=a\circ\ell^{-1}\colon[0,l(a)]\to\mathbb R^n$. Esto es la reparametrización por longitud de arco. Con esto, la longitud de arco desde $\hat a(t_1)$ hasta $\hat a(t_2)$ es siempre $t_2-t_1$ para $0\le t_1\le t_2\le l(a)$.