Primera y Segunda Forma Fundamental Intuición

Question

Solo estaba preguntando qué significan intuitivamente varias cantidades relacionadas con las primeras y segundas formas fundamentales de una superficie regular. En primer lugar, sería bueno tener otra explicación sobre lo que son las primeras y segundas formas fundamentales. Luego, ¿qué significan sus coeficientes E, F, G y e, f, g? Por último, ¿podrías explicar el significado/interpretación intuitiva/geométrica de los símbolos de Christoffel?

Me gustaría concentrarme en superficies bidimensionales, pero una explicación más detallada pertinente o en el contexto de variedades de mayor dimensión también podría serme útil.

Answer 1

De manera intuitiva, la primera forma fundamental te dice cómo calcular las distancias a lo largo de los caminos dentro de la superficie (es solo una métrica Riemanniana de la superficie considerada como una variedad independiente, es decir si olvidamos la incrustación/inmersión). Esto explica por qué también se llama la métrica intrínseca.

La segunda forma fundamental describe qué tan "curva" está la incrustación, en otras palabras, cómo está ubicada la superficie en el espacio ambiente. Es una especie de derivada del vector normal unitario a lo largo de la superficie o, equivalentemente, la tasa de cambio de los planos tangentes, tomados en varias direcciones dentro de la superficie. Alternativamente, se le llama tensor de forma (tiene una relación cercana con la forma, u operador de Weingarten), y es una cantidad extrínseca en el sentido de que depende de la incrustación.

El teorema de Bonnet (ver una discusión aquí) asegura que (bajo ciertas condiciones) estas dos formas fundamentales caracterizan de forma única la superficie (localmente), es decir, podemos "integrarlas" en una pieza de superficie en el espacio de forma única hasta un movimiento rígido del espacio.

En resumen, la primera y segunda forma fundamental son tan buenos como un conjunto completo de invariantes locales de una superficie, y por lo tanto son extremadamente útiles e importantes en geometría diferencial.

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Comentario 1. Con respecto a los coeficientes, los comentarios han abordado completamente esta pregunta: son solo componentes de estos tensores en un parche de coordenadas.

Comentario 2. Los símbolos de Christoffel son una forma de coordenadas para representar la diferenciación invariante de campos de vectores (y todos los campos tensores) a lo largo de la superficie que surge de las estructuras dadas. En nuestro caso tenemos la métrica usual (estándar, euclidiana) en el espacio ambiente y la conexión de Levi-Civita de esta métrica es simplemente la derivada usual (plana, euclidiana) (solo derivadas parciales del componente en las coordenadas estándar). Esta conexión (ambiente) tiene sus propios símbolos de Christoffel pero en nuestro contexto todos son cero, por lo que es costumbre no mencionarlos. Tomando un campo vectorial tangente a la superficie podemos intentar diferenciarlo con esta derivada ambiente pero para que esto funcione necesitamos extender este campo vectorial fuera de la superficie. El resultado de la diferenciación ciertamente dependerá de la extensión pero la parte tangencial de este resultado resulta ser independiente de las extensiones cuando se restringe a la superficie. De esta manera obtenemos la derivada covariante (de campos vectoriales tangenciales, tensores, ... ) en la superficie, y los símbolos de Christoffel a los que te has encontrado son los "componentes" de esta derivada covariante (la conexión de Levi-Civita de la primera forma fundamental).

Answer 2

Sea $\mathbf{r}$ un vector en el espacio contenedor, por ejemplo, $(x,y,z)$ en tres dimensiones. Sea $\mathbf{w}$ las coordenadas en la variedad embebida, por ejemplo, $(u,v)$ en una variedad bidimensional. Supongamos que los componentes de $\mathbf{r}$ pueden ser escritos como funciones de $\mathbf{w}$, y viceversa. Entonces el tensor métrico está definido como

$g_{ij} = \sum_k \frac{dr^k}{dw^i} \frac{dr^k}{dw^j}$

donde los superíndices son índices, no potencias. $g$ es claramente simétrico.

El cuadrado de la longitud del arco es $ds^2 = \sum_{ij} g_{ij} dw^i dw^j$.

En dos dimensiones, $ds^2 = g_{11} du^2 + g_{12} du dv + g_{21} dv du + g_{22} dv^2$, o
$E du^2 + 2 F du dv + G dv^2$. Esta es la primera forma fundamental para una superficie.

Los componentes del tensor de forma son proyecciones de segundas derivadas parciales sobre la normal unitaria. En dos dimensiones, una normal unitaria es el producto cruz de los vectores tangentes, que son derivadas de $\mathbf{r}$ con respecto a $u$ y $v$. El tensor de forma está dado por

$b_{ij} = \sum_k n^k \frac{\partial^2 r^k}{\partial w^i \partial w^j}$,

lo cual es claramente simétrico. La distancia desde la superficie en r+dr al plano tangente en r está dado por

$2D = \sum_{ij} b_{ij} dw^i dw^j$.

En dos dimensiones esto es $2D = b_{11} du^2 + b_{12} du dv + b_{21} dv du + b_{22} dv^2,$ o $2D = e du^2 + 2 f du dv + g dv^2$. Esta es la segunda forma fundamental para una superficie.

Una buena referencia es secciones 32-36 de Vector and Tensor Analysis de Harry Lass, McGraw-Hill (1950).