Si tengo una tv de familia $f \colon X \to T$, que algunos de fibra es (localmente) un completo intersección, ¿eso implica que no es un conjunto abierto $U$ $T$ de manera tal que las fibras por encima de $U$ (a nivel local) completa las intersecciones?
En general, ¿qué tipo de intuición debe uno tener acerca de las propiedades que están "abiertos" con respecto a los planos de las familias?
EGA IV$_4$, 19.3.8 (y 19.3.6); esto se refiere a la apertura en el piso de arriba sin propio, y (como consecuencia inmediata) la apertura de la planta baja si $f$ es adecuada (que supongo que usted quiere que requieren).
El general de la intuición es que la apertura tiene en el piso de arriba de muchas propiedades, y así mantiene abajo cuando el mapa es correcto. Como para demostrar la apertura en el piso de arriba, la idea es probar primero constructibility resultados, y luego refinar a la apertura mediante el comportamiento bajo generization. Pero es una larga historia, ya que hay muchos tipos de propiedades que uno se puede imaginar que desean tratar. Este tipo de cosas que se desarrolla en un extraordinariamente sistemática y exhaustiva en EGA IV$_3$, de los artículos 9, 11, 12 (especialmente la sección 12 para el niftiest cosas).
Yo sólo quería señalar que la situación a nivel mundial completo de las intersecciones es muy diferente; la propiedad de ser un mundo de completa intersección no está abierto. Por ejemplo, considere el $(\mathbb{P}^2)^9$. Esta es una $18$-dimensiones irreductibles espacio; el locus de $9$-tuplas de puntos que puede ser escrito como una completa intersección de dos cúbicas sólo tiene dimensión $16$, y por lo tanto no está abierto.
Aquí es un buen truco pregunta: Tome una familia de $9$-tuplas de puntos en $\mathbb{P}^2$, indexado por $t \in \mathbb{A}^1$, que son la intersección de dos cúbicas para$t=0$, pero no para los genéricos $t$. Cono de esta familia, la familia de $1$-dimensiones subschemes de $\mathbb{P}^3$. ¿Por qué no es un ejemplo de una singularidad que es un local completo intersección de deformación a una singularidad que no es?
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