En la teoría de conjuntos, ¿cómo se representan los números reales como conjuntos?

Question

En la teoría de conjuntos, si los números naturales se representan mediante conjuntos anidados que incluyen el conjunto vacío, ¿cómo se representan el resto de los números reales como conjuntos?

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Gracias por las respuestas. Varias respuestas decían básicamente para los números irracionales que Un corte Dedekind es un par de conjuntos de números racionales $\{L, R\}$ . El conjunto de los números reales se define como el conjunto de todos los cortes Dedekind, donde un corte Dedekind es un par de conjuntos de números racionales $\{L, R\}$ que no tienen elementos en común, y donde todos los elementos de $L$ son menores que cualquier elemento de $R$ . Cada corte Dedekind es un número real. Aquí es donde tengo un problema - seguramente eso no puede ser correcto. El conjunto $L$ es un conjunto de todos los racionales, y debe haber un racional en el conjunto $L$ que sea mayor que todos los demás racionales de ese conjunto, aunque no tengamos ningún método para determinarlo. Y del mismo modo, debe haber un racional en el conjunto $R$ que sea menor que todos los demás racionales de ese conjunto, aunque no tengamos ningún método para determinarlo. Si cada número irracional tiene un conjunto correspondiente $L$ entonces a cada número irracional le corresponde un elemento mayor de ese conjunto $L$ y entonces cada número irracional tiene su correspondiente número racional. Y eso significaría que los números irracionales son contables. Así que, con los cortes de Dedekind, la única conclusión es que debe haber números irracionales $x$ que son mayores o menores que algún corte irracional $y$ de los racionales, y entre $x$ y $y$ no hay ningún número racional. Pero eso es imposible, por lo que los cortes de Dedekind no pueden ser la representación correcta de los números reales.

Seguramente el problema de los cortes Dedekind está en utilizar conjuntos de racionales que incluyan todos los racionales hasta un determinado racional. Pero hay un método alternativo para representar los irracionales que se puede definir en términos de conjuntos infinitos de números racionales. Por ejemplo, en notación binaria, la parte no entera de $\pi$ es $.00100100\ 00111111\ 01101010\ 10001$ . Se define un conjunto mediante: si la nª cifra es un $1$ entonces el número natural $n$ está en el conjunto. Y entonces tenemos que, para los números reales entre $0$ y $1$ que el conjunto de los números reales es simplemente el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales. Cada subconjunto corresponde a algún número real entre $0$ y $1$ .

Y de esta manera, todos los números reales pueden ser considerados como algún conjunto basado sólo en conjuntos anidados del conjunto vacío.

Pero todavía no tengo una respuesta satisfactoria sobre cómo se pueden representar los números negativos sólo en términos de conjuntos que contienen el conjunto vacío. ¿Alguna idea?

Answer 1

Hay varias posibilidades, pero este es el único enfoque. Incluso el punto de partida -el conjunto de números naturales $\mathbb{N}$ -puede definirse de varias maneras, pero la definición estándar toma $\mathbb{N}$ para ser el conjunto de ordinales finitos de von Neumann. Supongamos que tenemos un conjunto $\mathbb{N}$ , una constante $0$ una operación unitaria $s$ y operaciones binarias $+$ y $\cdot$ que satisface los axiomas de la aritmética de Peano de segundo orden.

En primer lugar, tenemos que construir el conjunto de enteros $\mathbb{Z}$ . Esto lo podemos hacer canónicamente como sigue: definimos $\mathbb{Z}$ para ser el cociente de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ por la relación de equivalencia $$\langle a, b \rangle \sim \langle c, d \rangle \text{ if and only if } a + d = b + c$$ La interpretación que se pretende es que la clase de equivalencia de $\langle a, b \rangle$ representa el número entero $a - b$ . Las operaciones aritméticas pueden definirse en $\mathbb{Z}$ de manera obvia: $$\langle a, b \rangle + \langle c, d \rangle = \langle a + c, b + d \rangle$$ $$\langle a, b \rangle \cdot \langle c, d \rangle = \langle a c + b d, a d + b c \rangle$$ (Comprueba que estos respetan la relación de equivalencia). De nuevo, esta no es la única forma de construir $\mathbb{Z}$ podemos dar una axiomatización de segundo orden de los enteros que sea categórica (es decir, dos modelos cualesquiera son isomorfos). Por ejemplo, podemos sustituir el set $\mathbb{Z}$ por $\mathbb{N}$ ya que los dos conjuntos están en biyección; lo único que hay que cuidar es distinguir entre las operaciones aritméticas para $\mathbb{Z}$ y para $\mathbb{N}$ . (En otras palabras, $\mathbb{Z}$ es algo más que el conjunto de sus elementos; también está dotado de operaciones que lo convierten en un anillo .)

A continuación, tenemos que construir el conjunto de números racionales $\mathbb{Q}$ . Esto lo podemos hacer utilizando también relaciones de equivalencia: podemos definir $\mathbb{Q}$ para ser el cociente de $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{ 0 \})$ por la relación de equivalencia $$\langle a, b \rangle \sim \langle c, d \rangle \text{ if and only if } a d = b c$$ La interpretación que se pretende es que la clase de equivalencia de $\langle a, b \rangle$ representa la fracción $a / b$ . Las operaciones aritméticas se definen por $$\langle a, b \rangle + \langle c, d \rangle = \langle a d + b c, b d \rangle$$ $$\langle a, b \rangle \cdot \langle c, d \rangle = \langle a c, b d \rangle$$ Y como antes, podemos dar una axiomatización de los números racionales que es categórica.

Ahora podemos construir el conjunto de números reales $\mathbb{R}$ . Describo la construcción de cortes Dedekind, que es probablemente la más sencilla. A Corte Dedekind es un par de conjuntos de números racionales $\langle L, R \rangle$ que satisface los siguientes axiomas:

1. Si $x < y$ y $y \in L$ entonces $x \in L$ . ( $L$ es un conjunto inferior).
2. Si $x < y$ y $x \in R$ entonces $y \in R$ . ( $R$ es un conjunto superior).
3. Si $x \in L$ , entonces hay un $y$ en $L$ mayor que $x$ . ( $L$ está abierto arriba).
4. Si $y \in R$ , entonces hay un $x$ en $R$ menos de $y$ . ( $R$ está abierto abajo).
5. Si $x < y$ Entonces, o bien $x \in L$ o $y \in R$ . (La pareja $\langle L, R \rangle$ se encuentra).
6. Para todos $x$ no tenemos ambos $x \in L$ y $x \in R$ . ( $L$ y $R$ son disjuntos).
7. Tampoco $L$ ni $R$ están vacíos. (Así que $L$ está delimitada por encima de todo en $R$ y $R$ está limitada por debajo por todo lo que hay en $L$ .)

La interpretación que se pretende es que $\langle L, R \rangle$ es el número real $z$ tal que $L = \{ x \in \mathbb{Q} : x < z \}$ y $R = \{ y \in \mathbb{Q} : z < y \}$ . El conjunto de los números reales se define como el conjunto de todo Cortes de Dedekind. (¡No hay cocientes por relaciones de equivalencia!) Las operaciones aritméticas se definen como sigue:

• Si $\langle L, R \rangle$ y $\langle L', R' \rangle$ son cortes Dedekind, su suma se define como $\langle L + L', R + R' \rangle$ , donde $L + L' = \{ x + x' : x \in L, x' \in L' \}$ y de forma similar para $R + R'$ .
• El negativo de $\langle L, R \rangle$ se define como $\langle -R, -L \rangle$ , donde $-L = \{ -x : x \in L \}$ y de forma similar para $-R$ .
• Si $\langle L, R \rangle$ y $\langle L', R' \rangle$ son cortes Dedekind, y $0 \notin R$ y $0 \notin R'$ (es decir, ambos representan números positivos), entonces su producto es $\langle L \cdot L' , R \cdot R' \rangle$ , donde $L \cdot L' = \{ x \cdot x' : x \in L, x' \in L', x \ge 0, x' \ge 0 \} \cup \{ x \in \mathbb{Q} : x < 0 \}$ y $R \cdot R' = \{ y \cdot y' : y \in R, y \in R' \}$ . Lo extendemos a los números negativos por las leyes habituales: $(-z) \cdot z' = -(z \cdot z') = z \cdot -z'$ y $z \cdot z' = (-z) \cdot -z'$ .

John Conway ofrece un enfoque alternativo que generaliza los cortes de Dedekind descritos anteriormente en su libro Sobre los números y los juegos . Esto finalmente da lugar a Conway's números surrealistas .

Answer 2

Existen dos construcciones estándar, que dan como resultado clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales, o subconjuntos acotados de números racionales que satisfacen algunas propiedades adicionales.

En realidad, debería pensar en "los" números reales como un campo ordenado que satisface algunas propiedades adicionales ( enfoque axiomático ), que un conjunto específico.

Answer 3

Primero empezamos con los números naturales.

• $0=\varnothing$ ,
• $n+1=n\cup\{n\}$ .

Ahora tenemos los números naturales. A partir de aquí podemos seguir creando los números enteros (los ejemplos aquí son sólo de la nada para mostrar cómo se puede hacer, no es algo puramente canónico).

• Para $n\in\mathbb N$ , defina $-n=n\cup\{\mathbb N\}$ .

Esto es único ya que $\mathbb N\notin n$ para cualquier $n$ . El siguiente paso es definir los números racionales:

• $\frac{p}{q} = \big\{\langle m,n\rangle\mid mq=np\big\}$

Se trata, por supuesto, de una relación de equivalencia sobre el conjunto $\mathbb Z\times\mathbb Z$ .

Y finalmente, llegamos a la definición de los números reales:

Un número real es un conjunto de números racionales $r$ tal que:

1. Si $q\in r$ y $p<q$ entonces $p\in r$ ;
2. Existen algunas $q\in\mathbb Q$ de manera que cada $p\in r$ es menor que $q$ .

Esto se puede formular como subconjuntos de $\mathbb N$ como sigue:

Fijar alguna enumeración de $\mathbb Q$ Es decir $\{q_n\mid n\in\mathbb N\}$ . Consideremos ahora el número real $r$ como el conjunto de números naturales que corresponde a los racionales en la definición anterior.

Esta es una forma habitual de ver los números reales como subconjuntos de $\mathbb N$ en la moderna teoría de conjuntos. Es cierto que no se utilizan todos los conjuntos de números naturales, pero como se utilizan "bastantes" podemos simplemente mapear los conjuntos de números naturales para utilizarlos todos.

Answer 4

Hay varias formas de hacerlo.

• Cortes Dedekind son la representación de los números reales más obviamente parecida a un conjunto; es una representación en la que cada número real x  ∈ ℝ está representado por un par ( S ,  T ) de conjuntos abiertos no vacíos disjuntos S,T  ⊂ ℚ, tal que

  a. Si a  ∈  S , entonces cada número b  <  a también está en S ;
  b. Si a  ∈  T , entonces cada número b  >  a también está en T .

  (Hay formas alternativas y equivalentes de expresar la idea de un corte Dedekind, Por ejemplo   este otro ejemplo .)

  Todo número racional q  ∈ ℚ puede ser representado por S  = { a ∈ℚ |  a < q } y T  = { a ∈ℚ |  a > q }; de modo que q es el supremum de S y el infimo de T . Identificamos los números reales con los conjuntos de la misma manera: un número real como $\sqrt 2$ se identifica con los conjuntos S  = { a ∈ℚ |  a 2 <2 o  a <0}, y T  = { a ∈ℚ |  a 2 >2 y  a >0}, por lo que $\sqrt 2$ es el sumo de S y el infimo de T .

  Para utilizar esta construcción como "construcción en términos de conjuntos", hay que representar los números racionales en términos de conjuntos; esto se suele hacer representándolos como clases de equivalencia de pares ordenados ( p ,  q ), donde q  ≠ 0, y en el que ( p ,  q ) ∼ ( p ',  q ) si y sólo si pq ' =  qp '.

• Clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales es otra forma de construir los números reales. Las secuencias de Cauchy (sobre los tesmevles se representan como conjuntos identificando una secuencia σ como una función σ : ℕ → ℚ; la función es entonces un conjunto de pares ordenados. Las secuencias de Cauchy forman un álgebra sobre los números racionales, donde la adición, negación y multiplicación de las secuencias de Cauchy se realiza de forma puntual.

  Dos secuencias de Cauchy σ, σ' se consideran equivalentes si (σ' - σ) converge a 0; números reales x se representan entonces por las secuencias racionales de Cauchy que convergen en x . Por ejemplo, $\sqrt 2$ puede representarse por el conjunto de secuencias de Cauchy equivalentes a (1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, ...) dando la expansión decimal de $\sqrt 2$ .

  Existe otra representación relacionada de los números reales en términos de secuencias anidadas de intervalos cerrados; ésta puede reducirse a las secuencias de Cauchy considerando la secuencia de los límites inferiores o de los límites superiores de dichos intervalos.

Por cada construcción de los números reales , habrá una forma de describir cómo se construye un número real desde el principio en términos de conjuntos; es un buen ejercicio introductorio para ver cómo se haría.

Answer 5

Mientras que todas las construcciones dadas aquí describen la construcción del campo ordenado de los números reales $\mathbb{R}$ En cuanto a la teoría de conjuntos, hay que tener en cuenta que la mayoría de las veces, cuando un teórico de conjuntos habla de "los reales", especialmente en el contexto de la teoría de la cardinalidad y de los grandes cardinales, no suele referirse a los reales. números sino a los reales como entidad abstracta; en ese caso, un "real" puede referirse a un conjunto de números naturales (es decir, un miembro de $2^{\mathbb {N}} = \mathcal{P}(\mathbb{N})$ ) o una función de números naturales a números naturales (es decir, un miembro de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ ), y a menudo los dos se utilizan indistintamente, dependiendo del contexto.