Representaciones irreducibles (sobre $\mathbb{C}$) de grupos diedrales

Question

Encuentra el número de irrps complejas del grupo $D_n$. Encuentra la dimensión de las irrps.

Sé que

1. El número de irrps complejas de un grupo finito es igual al número de clases de conjugación del grupo.

2. Todas las reflexiones son conjugadas entre sí en el caso de que $n$ sea impar, pero

3. caen en dos clases de conjugación si $n$ es par. Pero hay $n$ rotaciones en $D_n$. No puedo encontrar el número de clases de conjugación para estas.

4. El número de irrps complejas unidimensionales es igual a $[D_n:D_n^\prime]$. No sé nada sobre el subgrupo conmutador de $D_n$.

5. Las matrices para los elementos de $D_n$ tienen la siguiente forma: $$R_k=\pmatrix{\cos{\frac{2 \pi k}{n}}&-\sin{\frac{2 \pi k}{n}}\\ \sin{\frac{2 \pi k}{n}}& \cos{\frac{2 \pi k}{n}}}$$ $$S_k=\pmatrix{\cos{\frac{2 \pi k}{n}}& \sin{\frac{2 \pi k}{n}}\\ \sin{\frac{2 \pi k}{n}}& -\cos{\frac{2 \pi k}{n}}}$$

$R_k$ es una matriz de rotación, expresando una rotación en sentido antihorario a través de un ángulo de $2\pi k/n$. $S_k$ es una reflexión a través de una línea que forma un ángulo de $2\pi k/n$ con el eje $x$.

Esto me ayuda a encontrar todas las irrps reales de dimensión $2$, pero ¿qué pasa con las complejas?

Respuesta en mi libro:

"Si $n=2k$, entonces hay $4$ irrps complejas unidimensionales y $(k-1)$ irrps complejas bidimensionales;

Si $n=2k+1$, entonces hay $2$ irrps complejas unidimensionales y $(k+1)$ irrps complejas bidimensionales."

Answer 1

Aquí hay una forma de obtener las clases de conjugación de $D_n$ y las representaciones irreducibles sobre $\mathbf{C}$.

Configuración

Primero fijaré alguna notación. Una presentación de $D_n$ es $\langle r, s\mid r^n = s^2 = 1, sr=r^{-1}s\rangle$, lo que significa que podemos identificar $D_n$ como un grupo de rotaciones $\{ 1, r, r^2\ldots r^{n-1}\}$ junto con una serie de reflexiones $\{ s, sr, sr^2\ldots sr^{n-1}\}$. (En lo que sigue a menudo seré descuidado e implícitamente utilizaré las identificaciones $r^{-i} = (r^i)^{-1} = r^{n-i}$.)

Análisis de las clases de conjugación de $D_n$

Para determinar las clases de conjugación, simplemente podemos usar la fuerza bruta. Cada elemento es $r^i$ o $sr^i$ para $0\leq i < n$, por lo que no es demasiado difícil escribir todas las posibles conjugaciones:

\begin{array}{rlclcl} \text{Conjugado} &r^i &\text{por}&r^j &:&(r^j) r^i(r^{-j})=r^i\\ &r^i &\text{por}&sr^j&:&(sr^j)r^i(r^{-j}s)= sr^is=r^{-i}\\ &sr^i&\text{por}&r^j &:&(r^j) sr^i(r^{-j}) = sr^{-j}r^ir^{-j} = sr^{i-2j}\\ &sr^i&\text{por}&sr^j&:&(sr^j)sr^i(r^{-j}s) = r^{i-2j}s=sr^{2j-i}\\ \end{array}

Clases de conjugación de las rotaciones

Las dos primeras filas nos dicen que el conjunto de rotaciones se descompone en pares inversos $r^i$ y $(r^{i})^{-1}$, es decir, las clases $\{1\}, \{r, r^{n-1}\}, \{r^2, r^{n-2}\},\ldots$

Contándolas, hay $\frac{n}{2}+1$ cuando $n$ es par (nota que $r^{n/2}$ es su propio inverso) y $\frac{n+1}{2}$ cuando $n$ es impar.

Clases de conjugación de las reflexiones

Ahora observa de las terceras y cuartas líneas de la tabla que $sr$ es conjugado a $sr^3, sr^5, \ldots$ mientras que $s$ es conjugado a $sr^2, sr^4,\ldots$ y estos dos conjuntos son disjuntos si $n$ es par. Sin embargo, $sr$ es conjugado a $sr^{n-1}$ (a través de $r$) así que si $n$ es impar, todas las reflexiones no triviales están en una clase de conjugación. (Dijiste que ya sabías esto pero lo pongo aquí por completitud.)

En conjunto, esto nos lleva al número total de clases de conjugación de $D_n$: \begin{array}{rl} \left(\frac{n}{2}+1\right)+2 = \color{#090}{\frac{n}{2}+3}&\text{para }n\text{ par}\\ \left(\frac{n+1}{2}\right)+1 = \color{#090}{\frac{n+3}{2}}&\text{para }n\text{ impar.} \end{array>

Análisis de las representaciones irreducibles de $D_n$

Irreducibles de una dimensión

Los conmutadores de $D_n$ lucen como $[r^i, sr^j]$ o su inverso, y

$$[r^i, sr^j] = r^{-i}(sr^j)r^i(sr^j) = sr^{2i+j}sr^j = (r^i)^2$$ por lo que los conmutadores generan el subgrupo de los cuadrados de las rotaciones. Esto significa que $G/[G,G]$ tiene orden 2 si $n$ es impar (ya que todas las rotaciones son cuadrados) o de orden 4 si $n$ es par (ya que solo la mitad de las rotaciones son cuadrados). Ahora puedes usar tu hecho #4, que nos dice que tenemos precisamente 2 ($n$ impar) o 4 ($n$ par) irreps de dim. 1 obtenidas de retroceder aquellas de $G/[G,G]$.

Otras irreducibles

Esto está relacionado con tu ítem #5. Podemos definir algunas representaciones de 2 dimensiones sobre $\mathbf{R}$, es decir

\begin{array}{ccc} r&\mapsto&\pmatrix{\cos(2\pi k/n)&-\sin(2\pi k/n)\\ \sin(2\pi k/n)&\cos(2\pi k/n)} \\ s&\mapsto&\pmatrix{0&1\\1&0} \end{array} para $0\leq k \leq \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$. Nos gustaría saber si estas represntaciones son irreducibles si las consideramos como matrices sobre $\mathbf{C}$.

Son reducibles si $k=0$ o $k = n/2$ (¿puedes descomponerlas?). Si $k$ es diferente de $0$ o $n/2$, un cálculo rápido muestra que la matriz de $r$ tiene eigenvalores complejos distintos $\pm e^{2\pi ki/n}$ con eigenvectores correspondientes $\pmatrix{1\\-i}$ y $\pmatrix{1\\i}$. Los espacios generados por cada e-vector son los únicos candidatos para subespacios invariantes, pero la matriz de $s$ intercambia los dos espacios propios, por lo que no hay subespacios invariantes y por lo tanto estas representaciones son irreducibles.

Recuento final

Tenemos irreps de 2-dim'les para cada entero $1\leq k < \frac{n}{2}$, específicamente tenemos $\frac{n}{2}-1$ para $n$ par y $\frac{n-1}{2}$ para $n$ impar. Si contamos estas con las irreps de 1 dimensión, tenemos

\begin{array}{rl} \left(\frac{n}{2}-1\right)+4 = \color{#090}{\frac{n}{2}+3}&\text{para }n\text{ par}\\ \left(\frac{n-1}{2}\right)+2 = \color{#090}{\frac{n+3}{2}}&\text{para }n\text{ impar.} \end{array>

lo cual coincide con el número de clases de conjugación, así que debemos haber terminado por tu hecho #1. (Además, podemos verificar que la suma de cuadrados de las dimensiones de las irreps es $2n$ en ambos casos.)