Retroceso del divisor canónico

Question

Sea $Y$ una variedad suave de dimensión $n$. Entonces puedo obtener (un representante para) la clase de divisor canónico $K_Y$ en $Y$ tomando cualquier $n$-forma racional $\omega$ en $Y$ y tomando su divisor de ceros y polos, entonces $K_Y\equiv div(\omega)$.

Ahora sea $f:X \to Y$ un morfismo birracional entre variedades suaves de dimensión $n$, y $\omega$ una $n$-forma en $Y$. Entonces $f^\ast\omega$ es una $n$-forma en $X$, así que por la receta anterior (tomar el divisor de cualquier $n$-forma para obtener un representante de la clase de divisor canónico) obtenemos $K_X\equiv div(f^*\omega)$. Además $div(f^*\omega)= f^*div(\omega)$ por definición de pullback de un divisor de Cartier. Por lo tanto, $K_X\equiv f^*K_Y$ lo cual no es cierto... Me está faltando el divisor excepcional. ¿Dónde está el error en mi argumento?

Esta pregunta prueba que $K_X \equiv f^* K_Y + R$ donde $R$ está soportado en el divisor excepcional, y podría ayudar a identificar dónde me estoy equivocando.

Answer 1

Es exactamente no cierto que $div(f^*\omega) = f^*div(\omega). (Y tu afirmación de que se sigue de la definición del pull-back de divisores de Cartier simplemente no es verdad.)

Vamos a considerar el caso de un punto siendo despegado, y busquemos localmente alrededor del punto que se está despegando; digamos que tenemos coordenadas locales $x$ y $y$, y $x = y = 0$ es el punto que se está despegando.

Supongamos que $\omega = dx \wedge dy$ localmente, entonces tiene un divisor trivial (al menos en un entorno de $(0,0)$).

El mapa de despegue es $(x,y) \mapsto (x,xy),$ y entonces esta diferencial se desplaza hacia atrás a $dx \wedge d(xy) = x dx \wedge dy$, que ahora tiene un divisor no trivial, es decir $x = 0$, que es exactamente el divisor excepcional.

Este cálculo muestra que en efecto $$div(f^* \omega) = f^*div(\omega) +\text{el divisor excepcional}.$$