Dada la base $\beta = \{(1,-1,3),(-3,4,9),(2,-2,4)\}$ y $x = (8, -9, 6)$, debo encontrar el vector coordenado correspondiente $[x]_\beta$. Afirmo que las entradas del vector coordenado $x_1,x_2,x_3$ cumplen el siguiente criterio:
$$x_1(1,-1,3)+x_2(-3,4,9)+x_3(2,-2,4) = (8,-9,6)$$ Esto es equivalente a resolver la matriz aumentada
\begin{bmatrix} 1 &-3 &2 & 8\\-1 & 4 & -2 & -9\\3 & 9 & 4 & 6 \end{bmatrix}
que es equivalente por filas a
\begin{bmatrix} 1 &-3 &2 & 8\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}
lo que da $x_3 = 0$, $x_2 = -1$ y $x_1 = 3x_2 + 8 = 5$, por lo tanto el vector coordinado es $(5, -1, 0)$
Aquí hay un error, ya que el texto afirma una respuesta diferente. ¿Cuál es el error? En particular, ¿es computacional o simplemente un error en mi comprensión de la pregunta?
Editar: corregir error tipográfico en la ecuación