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Encontrar el vector de coordenadas relativo a una base dada

Dada la base $\beta = \{(1,-1,3),(-3,4,9),(2,-2,4)\}$ y $x = (8, -9, 6)$, debo encontrar el vector coordenado correspondiente $[x]_\beta$. Afirmo que las entradas del vector coordenado $x_1,x_2,x_3$ cumplen el siguiente criterio:

$$x_1(1,-1,3)+x_2(-3,4,9)+x_3(2,-2,4) = (8,-9,6)$$ Esto es equivalente a resolver la matriz aumentada

\begin{bmatrix} 1 &-3 &2 & 8\\-1 & 4 & -2 & -9\\3 & 9 & 4 & 6 \end{bmatrix}

que es equivalente por filas a

\begin{bmatrix} 1 &-3 &2 & 8\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}

lo que da $x_3 = 0$, $x_2 = -1$ y $x_1 = 3x_2 + 8 = 5$, por lo tanto el vector coordinado es $(5, -1, 0)$

Aquí hay un error, ya que el texto afirma una respuesta diferente. ¿Cuál es el error? En particular, ¿es computacional o simplemente un error en mi comprensión de la pregunta?

Editar: corregir error tipográfico en la ecuación

14voto

Christoph Puntos 8263

Dado que $$ 5\cdot \pmatrix{1\\-1\\3}+(-1)\cdot\pmatrix{-3\\4\\9} = \pmatrix{5\\-5\\15}+\pmatrix{3\\-4\\-9} = \pmatrix{8\\-9\\6}, $$ tu solución es correcta.

¿Tal vez copiaste mal los números de tu libro de texto?

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