Número de límite de puntos de un continuo exponencial

Question

Inspirado por el trabajo de C. Bender, recientemente he jugado con la continuación de la exponenciales (como fracciones continuas, pero con funciones exponenciales ;) ). Dado que todos prefactors son iguales a 1, la constante exponencial lee $\exp(z \exp(z \exp(...))) $. Esto converge en una cardioide, pero el más interesante de lo que sucede fuera de la región de convergencia, dando lugar al siguiente problema:

Deje $a_0 = 1$$a_{n+1} = \exp(z\cdot a_n)$. Dado un $z\in\mathbb{C}$, ¿cuántos puntos limitantes hace la secuencia de $\{a_i(z)\}$?

Cuando colorear cada una de las regiones con un número diferente de puntos limitantes en un color diferente, un patrón fractal emerge (ver foto). Los únicos puntos divergentes (con valores que iban a $\infty$)$\{x\in\mathbb{R}|x>1/e\}$. En la frontera entre dos regiones, hay más y más a las regiones de mayor número de puntos limitantes de modo que hay un infinitesimal de la línea alrededor de cada región, en la que la secuencia tiene un número infinito de puntos limitantes.

Las secuencias de enfoque de la N-los círculos de la alta n. Que es: una secuencia con 5 puntos limitantes siempre va a iterar a través de estos 5 puntos en el mismo orden en alta n.

La imagen que he creado tomó cerca de 15 horas de cálculos y como usted puede ver, hay todavía una gran cantidad de regiones en negro, donde mi código no fue capaz de determinar el número de puntos limitantes (y hay algunos mal colorantes en la cardioide, pero que no es tan malo). Esto es principalmente debido a la lentitud de la convergencia.

Mi pregunta para usted: ¿tiene usted alguna idea de cómo encontrar rápidamente el número de puntos limitantes (es decir, más rápido que el cálculo de la secuencia hasta que el patrón se vuelve obvio)? Es allí una manera de encontrar todos los puntos para los cuales hay infinitamente muchas límite de puntos de ie. calcular las fronteras de estas regiones directamente?

Para aclarar: ¿qué estoy haciendo hasta ahora es calcular algo así como 300 elementos de esta secuencia y comprobar si $||a_N - a_{N-m}|| &lt \epsilon\cdot ||a_N||$ para algunos predefinidos $\epsilon$ y cualquier $m$. Por supuesto, yo podría comprobar esto en repetidas ocasiones, mientras que el cálculo de los elementos, pero quiero algo que sea más eficiente.

Answer 1

Deje $f(w) = \exp(z w)$. Tenga en cuenta que $f'(w) = z f(w)$. Si $p_1, p_2, \ldots, p_n$ formulario de una órbita periódica de periodo $n$ (de modo que $f(p_j) = p_{j+1}$$1 \le j \le n-1$$f(p_n) = p_1$), que la órbita es asintóticamente estable si $|f'(p_1) \ldots f'(p_n)| = |z|^n |p_1 \ldots p_n| < 1$. La típica forma de un conjunto finito de puntos limitantes en la cuenca de atracción de una órbita periódica. Ahora si $|w - p| < \epsilon$, $|f(w) - f(p)| < |z| \epsilon e^{|z|\epsilon} |f(p)|$. Supongamos que (después de algunos iteración) de su actual punto de $w$ está cerca de los periódicos punto de $p_1$. A continuación, puede iterar: $\epsilon_1 = |w - p_1|$, $\epsilon_{j+1} = |z| \epsilon_j e^{|z| \epsilon_j} |p_{j+1}|$. Si $\epsilon_{n+1} < \epsilon_1$, entonces el punto actual en la cuenca de atracción.

Fuera de todas las cuencas de atracción, se tienen puntos en los que no se sienten atraídos a cualquier asintóticamente estable órbita periódica. Ellos podrían estar en inestable periódico de las órbitas, pero son más propensos a tener una infinidad de límite de puntos, si no de ir a la $\infty$. No veo una forma de calcular todos ellos directamente.