¿Cuál es $\nabla Au$ para $A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n\times n}$ y $u:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$?

Question

Sea $A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n\times n}$ y $u:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$. ¿Cómo podemos calcular $\nabla Au$? Asumo que necesitamos aplicar algún tipo de regla de producto, pero no pude averiguar cómo exactamente.

Answer 1

El mapa $Au: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n \times n}$ ya que $A$ es una matriz y $u$ es un escalar. Entonces, la derivada es realmente un mapa lineal de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^{n \times n}$. Puedes calcularlo en términos de parciales: $$ D(Au)(x) h = \sum_{i=1}^n \partial_i(Au)(x) h_i $$ donde $h \in \mathbb{R}^n$. Reinterpretando esto como un gradiente, tenemos que los componentes son $\partial_i(A u)(x)$, y para esto podemos calcular $$ \partial_i (A_{jk}(x) u(x)) = \partial_i A_{jk}(x) u(x) + A_{jk}(x) \partial_i u(x) $$ para cada $j, k = 1, \dotsc, n$ usando la regla del producto habitual.