¿Qué significa $Ax\geq b$ en Álgebra Lineal?

Question

Estoy estudiando el Lema de Farkas. Puedo entender lo que $Ax = b$ desde una perspectiva de álgebra lineal. Pero, ¿no entiendo qué significa $Ax\geq b$?

Answer 1

El significado de esa notación depende del contexto, pero el artículo vinculado de Wikipedia lo aclara:

"Aquí, la notación $x \ge 0$ significa que todos los componentes del vector x son no negativos."

así que, podemos suponer que $A x \ge b$ debe entenderse componente por componente, o equivalentemente $A x - b \ge 0$ con la interpretación anterior.

Answer 2

Para el Lema de Farkas, $Ax \geq b$ significa que multiplicarás $Ax$ para obtener un vector $v$, y luego $v_i \geq b_i$ para cada índice $i$ de los vectores. De manera similar, utilizando la misma interpretación, en problemas de programación lineal, las personas a menudo usan $Ax \leq b$ donde $x$ es el vector de variables para el problema de programación lineal y $A, b$ son numéricos, para definir las restricciones para el problema de programación lineal.

Answer 3

Oh ahora entiendo tu pregunta. Aquí tienes algo:
Considera el caso de una sola fila, $a^T x \geq b$. Esto está diciendo geométricamente que $x$ se encuentra en un lado del hiperplano $a^T x = b$ (imágenes disponibles para el caso bidimensional, deberías dibujar). El hiperplano es perpendicular a $a.

Tomando todas las filas juntas, cada fila da un corte de hiperplano, y te dice que $x$ está en uno de los lados del corte. Entonces esto define una región convexa para $x$ (aunque no necesariamente acotada).

En términos del espacio de columnas, no se me ocurre nada... pero no creo que te lleve por un camino que te ayude a comprender el lema de Farkas.

Answer 4

Esta es una notación abreviada utilizada en programación lineal. Para $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$, $x \in \mathbb{K}^n$, $b \in \mathbb{K}^m$ significa $$ A x \le b \iff \forall i \in \{1,\ldots, m\}: a_i^\top x \le b_i $$ donde $a_i$ es el vector de fila $i$ de $A.

Esto puede interpretarse como $m$ restricciones de desigualdad lineal del tipo $\le$ en los $n$ desconocidos $x_j$. $$ \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \le b_i $$ De acuerdo con leonbloy, también puede interpretarse de forma componente a componente de la siguiente manera $$ (Ax)_i \le b_i $$