Para este problema
$|2 - |x-2|| = 2$
He encontrado los valores $x = -2$ y $x = 2$. Sin embargo, se me presentó una tercera solución, que no puedo encontrar por mi cuenta: $x = -6$.
¿Esta solución es válida? En caso afirmativo, ¿cómo llego a esa solución?
-$6$ no es una solución, como puedes comprobar sustituyéndolo en la ecuación original, pero $6$ sí lo es: $$|2-|6-2||=|2-4|=|-2|=2\;.$$
Puedes resolverlo en dos pasos.
Primero deja que $y=|x-2|$, y resuelve $|2-y|=2$: o bien $2-y=2$, en cuyo caso $y=0$, o bien $2-y=-2$, en cuyo caso $y=4$. Ahora sustituye estas posibilidades en $y=|x-2|$.
Si $y=0$, tienes $|x-2|=0$, en cuyo caso $x=2$ es la única solución.
Si $y=4$, tienes $|x-2|=4$, entonces o bien $x-2=4$ y $x=6$, o bien $x-2=-4$ y $x=-2$.
Combinando los resultados, las tres soluciones son $x=-2$, $x=2$ y $x=6$.
No, $x=-6$ no es una solución, ya que $|2-|{-6}-2||=|2-8|=6$. Sin embargo, $x=6$ sí es una solución, ya que $|2-|6-2||=|2-4|=2$. En general, puedes obtener todas las soluciones notando $$|2-|x-2||=a(2-|x-2|)=a(2-b(x-2))=2(a-b)-abx$$ donde $a$ y $b$ son o bien $-1$ o $1$, encuentra todas las soluciones a $2=2(a-b)-abx$ y luego comprueba cuáles realmente funcionan.
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