Definición de relación en el producto semidirecto de grupos

Question

$\newcommand{\aut}{\operatorname{Aut}}$ Me pregunto cómo podemos extraer la relación definitoria en el producto semidirecto de grupos.

Consideremos un grupo de orden $12$. Consideremos dos grupos cíclicos $C_3 = \langle a\rangle$, $C_4 = \langle b\rangle$. Sea $\varphi:C_4\to\aut (C_3)\simeq C_2$ el único homomorfismo no trivial dado por $b\mapsto \varphi_b$ donde $\varphi_b(a) = a^2$. Entonces, $G:=C_3\rtimes_\varphi C_4$ es un grupo no conmutativo con relación definitoria $$G = \langle a,b\mid a^3 = 1,b^4 = 1,bab^{-1} = a^2\rangle.$$ Primero $a^3 = 1$ y $b^4 =1$ provienen de la relación de grupo en $C_3$ y $C_4$. Y creo que la última proviene de $\varphi_b(a) = a^2$ pero ¿por qué aparece $bab^{-1}$? Parece que está relacionado con el producto semidirecto interno y externo pero no conozco la razón explícita.

En un contexto más general, sea $G = H\rtimes_\varphi K$ para algún $\varphi:K\to\aut(H)$ y sean $G_1$ y $G_2$ los generadores de $H$ y $K$, y sean $R_1$ y $R_2$ las relaciones en $H$ y $K$. ¿Entonces la relación definitoria es $$G = \langle G_1,G_2\mid R_1,R_2, k h k^{-1} = \varphi_k(h), h\in G_1,k\in G_2\rangle?$$

Answer 1

Sí.

Recuerda lo que hacen los productos semidirectos . Cuando tomamos el producto directo $G = Q \times K$, obtenemos un grupo en el que $Q$ y $K$ son ambos normales. Además, $G/Q = K$ y $G/K = Q$.

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Los productos semidirectos nos permiten relajar esto a un caso en el que solo uno de los grupos ($K$, digamos) es normal, con $G/K = Q$, pero $Q$ puede ubicarse dentro de $G$ de la manera que deseemos (Si estás familiarizado con el término, esto significa que queremos resolver el problema de extensión de una manera que la secuencia resultante $1 \to K \to G \to Q \to 1$ sea exacta escindida). He elegido las letras $K$ y $Q$ para que podamos recordar qué grupo es el núcleo y cuál es el cociente.

Así que sabemos que queremos construir un grupo $G$ que contenga $Q$ y $K$ con $G/K = Q$. Entonces, dado que $K$ es normal, sabemos que $g^{-1}Kg = K$ para cada $g \in G$. En particular para cada $q \in Q$. Es fácil ver que esto es un automorfismo de $K$, por lo que obtenemos una "acción de conjugación" $Q \to \text{Aut}(K)$ con $q \cdot k = q^{-1} k q$.

Esto significa que si queremos construir un grupo $G$, necesitaremos decir cuál queremos que sea la acción de conjugación. ¡Lo que es un poco mágico es que la acción de conjugación es la única información que necesitamos para determinar $G$!

Digamos $\varphi : Q \to \text{Aut}(K)$. Entonces podemos encontrar un (¡único!) grupo $G = K \rtimes_\varphi Q$ de manera que

• $K$ y $Q$ son subgrupos de $G$
• $G / K = Q$
• la acción de conjugación de $Q$ en $K$ coincide con $\varphi$. Es decir, $q^{-1}kq = \varphi(q)(k)$.

(Si prefieres, realmente deberíamos escribir $(1_K, q)$ y $(k, 1_Q)$ para los elementos correspondientes de $G$, pero la vida es muy corta para no identificar $K$ y $Q$ con sus imágenes en $G$)

Así que vemos que, si $K = \langle k_i \mid R \rangle$ y $Q = \langle q_j \mid S \rangle$, obtenemos una presentación

$$ G = K \rtimes_\varphi Q = \langle \ k_i, q_j \mid R, S,\ q_j^{-1} k_i q_j = \varphi(q_j)(k_i) \ \rangle $$

¡que es exactamente como lo imaginaste!

Dejaré como ejercicio (solo ligeramente tedioso) que esta presentación realmente coincide con la definición habitual de producto semidirecto.

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¡Espero que esto ayude ^_^

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