La integral de la aceleración con respecto al tiempo es la velocidad. La integral de la velocidad con respecto al tiempo es la posición.
¿Cuál es la integral de la posición con respecto al tiempo y qué significa?
Por favor explique de manera que su respuesta sea comprensible para alguien que haya tomado cálculo I.
$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Vec}[1]{\mathbf{#1}}$tl; dr: Es cierto que la "velocidad es la derivada de la posición", pero "la aceleración es la derivada de la velocidad" no es verdadero en el mismo sentido: la noción de velocidad es independiente de los cambios de coordenadas arbitrarios, pero la aceleración no lo es; debes dotar al espacio de "estructura adicional" antes de poder dar sentido a la aceleración (que se convierte en la "derivada covariante" de la velocidad). En este marco, "la integral de la posición" ni siquiera tiene un significado matemático; no hay forma de sumar las posiciones.
Advertencia: No sé cómo expresar estas ideas sin ir más allá del plan de estudios normal de la escuela secundaria. Sin embargo, he intentado separar las cuestiones técnicas y el material más profundo como enlaces web.
Comencemos primero analizando los supuestos implícitos:
La velocidad es la derivada de la posición.
La aceleración es la derivada de la velocidad.
A pesar de lo que enseñamos en cálculo elemental, estas afirmaciones no están en pie de igualdad.
En cálculo elemental y física, nuestro modelo del espacio es $\Reals^{n}$, el espacio cartesiano cuyos puntos están etiquetados por $n$-uplas ordenadas de números reales. Nuestro modelo del tiempo es $\Reals$, y un intervalo $I$ de números reales representa "un intervalo de tiempo". La posición de una partícula puntual durante un intervalo $I$ está modelada por una función continua (a menudo suave) $\Vec{x}:I \to \Reals^{n}$, que inconscientemente "descomponemos en funciones componentes": $$ \Vec{x}(t) = \bigl(x_{1}(t), x_{2}(t), \dots, x_{n}(t)\bigr),\quad t \in I. \tag{1} $$
Si la posición de nuestra partícula es continuamente diferenciable, definimos la velocidad como $$ \Vec{x}'(t) = \bigl(x_{1}'(t), x_{2}'(t), \dots, x_{n}'(t)\bigr),\quad t \in I. \tag{2a} $$ Si la posición es dos veces continuamente diferenciable, definimos la aceleración como $$ \Vec{x}''(t) = \bigl(x1{''}(t), x_{2}''(t), \dots, x_{n}''(t)\bigr),\quad t \in I. \tag{3a} $$
Una inspección más cercana nos lleva a un punto de vista más cauteloso: Las coordenadas cartesianas que hemos dado por sentadas no son intrínsecas al espacio; son estructuras adicionales que hemos impuesto. En ese sentido, deberíamos preguntarnos si las definiciones anteriores dependen de la elección de las coordenadas.
Notablemente, la velocidad "se transforma linealmente (es decir, como un tensor) bajo el cambio de coordenadas". La aceleración no lo hace.
Para ver por qué, permitamos que $\phi$ represente una transformación de coordenadas, y escribamos $\Vec{y} = \phi(\Vec{x})$ para la representación de coordenadas de la posición de nuestra partícula en las "nuevas" coordenadas. Por la regla de la cadena (multivariable), $$ \Vec{y}'(t) = D\phi(\Vec{x})\, \Vec{x}'(t). \tag{2b} $$ La representación de coordenadas de la velocidad de nuestra partícula en el nuevo sistema es una función lineal de la representación de coordenadas en el sistema antiguo.
Por el contrario, al diferenciar (2b) y usar la regla del producto obtenemos $$ y''(t) = D\phi(\Vec{x})\, \Vec{x}''(t) + \bigl[D\bigl(D\phi(\Vec{x})\bigr) \Vec{x}'(t)\bigr] \Vec{x}'(t). \tag{3b} $$ El primer término a la derecha es la parte "agradable", que se transforma como un tensor; el segundo término implica segundas derivadas del cambio de coordenadas, y no es lineal en $\Vec{x}'$. Si la aceleración de una partícula debe transformarse como un tensor, debemos o bien
Restringir el conjunto de cambios de coordenadas "permitidos", o
Modificar nuestra noción de diferenciación para cancelar el segundo término.
El enfoque del cálculo y la física elemental puede ser visto como fijando lamétrica euclidiana y permitiendo solo cambios de coordenadas que preserven esta estructura adicional. Si $\phi$ es un movimiento rígido (euclidiano), entonces la primera derivada $D\phi$ es un campo constante de transformaciones lineales, y la segunda derivada se anula, por lo que (3b) se convierte en $$ \Vec{y}''(t) = D\phi(\Vec{x})\Vec{x}''(t). $$
El enfoque de la mecánica sin coordenadas y de la relatividad general es fijar unamétrica de Riemann, y reemplazar la derivada componente condiferenciación covariante. (Compara el segundo término a la derecha en (3b) con las segundas derivadas de $\Psi$ que aparecen en la entrada de Wikipedia sobresímbolos de Christoffel.)
Para resumir la discusión anterior:
En cálculo y física elemental, la posición, la velocidad y la aceleración se modelan mediante $n$-uplas ordenadas de números reales, es decir, por puntos/vectores en $\Reals^{n}$.
Cuando se mira más de cerca, la posición de una partícula puntual está modelada por un punto en unavariedad suave $M$; una velocidad es un elemento delconjunto tangente de $M$; unaaceleración es o bien
Un elemento del segundo conjunto tangente $T(TM)$ (si no imponemos estructura adicional en $M$), o
Un elemento de $TM$ (si usamos unaconexión para identificar el subconjunto horizontal de $T(TM)$ con $TM$).
Con todo esto entendido, es difícil entender qué se quiere decir con "la integral de la posición" de manera invariante a las coordenadas. De manera general, la integración es un proceso de suma, pero las posiciones—puntos de una variedad—no se pueden sumar de ninguna manera natural obvia. (Para poder restar puntos de manera invariante a las coordenadas, tuvimos que construir un espacio completamente nuevo , el paquete tangente $TM$.)
Más aún, uno esperaría ingenuamente que "la derivada de 'la integral de la posición con respecto al tiempo' sea la posición (con una constante aditiva)". Si "la integral de la posición" pudiera interpretarse como una trayectoria en alguna variedad $P$, entonces la derivada de esta trayectoria "existiría" tanto en $TP$ como en $M$; eso es imposible, ya que "la mayoría" de las variedades $M$ no son el espacio total del paquete tangente de otra variedad.
Aunque estas observaciones no son definitivas (tal vez me estoy volviendo poco imaginativo con la edad), sugieren fuertemente que
Dentro del marco de la geometría diferencial, "la integral de la posición con respecto al tiempo" no tiene un significado matemático (mucho menos físico).
Cualquier definición útil de "la integral de la posición con respecto al tiempo" requerirá una reformulación fundamental de la noción de posición.
Además de las interpretaciones dentro de la geometría euclidiana (que, como cuestión de opinión, sospecho que "no son particularmente interesantes"), la expresión $$ \int \Vec{x}(t)\, dt = \left(\int x_{1}(t)\, dt, \int x_{2}(t)\, dt, \dots, \int x_{3}(t)\, dt\right) $$ no tiene sentido. (Contrastar con "la integral de la posición con respecto a la posición", de la cual se pueden extraer, por ejemplo, la teoría y aplicaciones deintegrales de línea.)
Se llama Absement. Desde la página de Wikipedia,
... absement (o absición) es una medida de desplazamiento sostenido de un objeto desde su posición inicial, es decir, una medida de a qué distancia y por cuánto tiempo.
También existen nombres para más derivadas/integrales de la posición:
-4 Abserk
-3 Abseleración
-2 Absidad
-1 Absement [Absición]
0 Desplazamiento [Posición]
1 Velocidad
2 Aceleración
3 Sacudida
4 Salto
etc
Supongamos que hay una palanca que puedes mover desde $0$ hasta $1$. Si dejamos que $f(t)$ sea la posición de esa palanca con el tiempo mientras la mueves, puedes pensar en la velocidad de la palanca $f'$, aceleración $f''$, etc. Ahora imagina que la palanca controla una compuerta. La compuerta está cerrada en la posición $0$ y se abre a medida que mueves la palanca hacia $1$. La integral $\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x$ mide la acumulación de agua que se ha derramado de la compuerta con el tiempo. Si dejas la palanca en alguna posición fija, el agua fluirá a un ritmo constante. El absemento en esta situación mide el agua acumulada, igual a $\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x$, y es una medida de la posición sostenida de la palanca.
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