¿Infinitas funciones independientes que solo están localizadas en frecuencia?

Question

Una función $f \in L^2(\mathbb R^d)$ se llamará $K$-frecuencia localizada si se cumple la siguiente desigualdad $$\int_{\mathbb R^d} \lvert \widehat{f}(x) \rvert^2 x^2 \ dx \le K \int_{\mathbb R^d} \lvert \widehat{f}(x) \rvert^2 \ dx.$$

Por otro lado, decimos que una función $f \in L^2(\mathbb R^d)$ no está localizada espacialmente si

$$\int_{\mathbb R^d} \lvert f(x) \rvert^2 x^2 \ dx =\infty.$$

Me pregunto: ¿Hay infinitas funciones linealmente independientes en $L^2$ que están $K$-frecuencia localizadas para algún (cualquiera) $K >0$ que no están localizadas espacialmente?

Siento que la respuesta es afirmativa y debería seguir de argumentos generales de espacios de Banach, pero realmente no veo cómo argumentarlo.

Answer 1

Para todo $a\in(0,K)$, la función $\hat 1_{[0,a]}$ está localizada en frecuencia $K$, sin embargo la función en sí misma decae como $1/x$ a medida que $x\to\infty$ (como se puede ver fácilmente integrando por partes), por lo que no está localizada espacialmente.