Deja que $a, b, c$ sean números reales positivos tales que $abc = 1$. Demuestra que $a^2 + b^2 + c^2 \ge a + b + c$.

Question

Sea $a, b, c$ números reales positivos tales que $abc = 1$. Demuestra que $a^2 + b^2 + c^2 \ge a + b + c$.

Se supone que debo demostrar esto usando AM-GM, pero no puedo entenderlo. ¿Alguna pista?

Answer 1

Ya que $$a^2+1\ge 2a$$ entonces $$a^2+b^2+c^2+3\ge a+b+c+(a+b+c)\ge a+b+c+3\sqrt[3]{abc}=a+b+c+3$$ por lo tanto $$a^2+b^2+c^2\ge a+b+c$$

Answer 2

Por QM-AM para la primera desigualdad y AM-GM para la segunda,

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\geq\left( \frac{a+b+c}{3} \right)^2\geq\frac{a+b+c}{3}\left( \sqrt[3]{abc} \right)$$

por lo tanto, dado que $abc=1, a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$

Answer 3

Solución de la página 5 en notas de Thomas Mildorf: primero homogenizamos la desigualdad multiplicando $(abc)^\frac{1}{3}$ y obtenemos la siguiente desigualdad $$a^\frac{4}{3}b^\frac{1}{3}c^\frac{1}{3}+a^\frac{1}{3}b^\frac{4}{3}c^\frac{1}{3}+a^\frac{1}{3}b^\frac{1}{3}c^\frac{4}{3}\:\leqslant\: a^2+b^2+c^2\,,$$ luego aplicamos $GM\leqslant AM\,$ para obtener $$a^\frac43b^\frac13 c^\frac13 \:\leqslant\: \frac{a^2+a^2+a^2+a^2+b^2+c^2}6\,.$$ Y de la misma manera podemos obtener los otros términos, y después de sumarlos hemos terminado.

Answer 4

Usando C-S y luego AM-GM se obtiene algo más corto: $$3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge (a+b+c)\frac{(a+b+c)}{3} $$ $$\ge (a+b+c)\sqrt[3]{abc}=a+b+c$$ Y hemos terminado.