Una débil propiedad de punto fijo para Grassmanniano

Question

Sea $f$ una función continua en el Grassmanniano complejo $G(k, 2n+1)$. ¿Es cierto decir que hay un $k$-plano $Y$ tal que $Y$ tiene intersección no trivial con $f(Y)?$

Una motivación para esta pregunta es la siguiente prueba alternativa para la propiedad del punto fijo de $CP^{2n}$:

Supongamos que $f$ es una mapa en $CP^{2n}$ sin puntos fijos. Sea $l$ el haz de líneas canónico en $CP^{2n}$. Por $f^*(l)$ nos referimos al haz de retroceso. Entonces $l$ tiene intersección trivial con $f^*(l)$, ya que $f$ no tiene puntos fijos. Esto implica que un complemento de $l$, en el haz trivial de $2n+1$, tiene un subhaz $f^*(l)$. Esto es una contradicción porque la clase de Chern de cada complemento del haz de líneas canónico es $1-x+x^2-.....+x^{2n}$, lo cual no tiene raíz racional.

Entonces nuestra pregunta principal tiene una respuesta afirmativa si la respuesta a la siguiente pregunta es afirmativa:

¿Es cierto decir que un complemento del haz de planos canónico $k$ en $G(k, 2N+1)$ en el haz trivial de $2n+1$ no tiene un subhaz de dimensión $k$?