¿Cómo calcular manualmente los valores de $e^x$?

Question

Tengo que presentarme a un examen competitivo, que no permite calculadoras. Así que necesito calcular valores exponenciales para diferentes valores de 'X'.

¿Hay algún truco o métodos estándar que puedan ayudarnos a calcular e^x de forma fácil?

Answer 1

Depende de qué valor quieras calcular. Digamos que quieres calcular $e^x$ para $x$ pequeño. Entonces, como ya se mencionó, utiliza la serie de Taylor $$e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+\cdots.$$

Pero ¿qué pasa si $x$ es grande? Digamos que es un entero $n$. Luego tomaría una aproximación de $e$ y calcularía potencias de 2: $$e, e^2, e^4, e^8, \dots, e^{2^m}.$$ El número $n$ se puede expresar en binario en la forma $n=b_m \cdots b_1$. Por lo tanto $$e^n = e^{2^m b_m + \cdots + b_1} = \prod_{k=1}^m e^{2^k b_k}.$$ Es decir, multiplicas todas las potencias de dos de $e$ que aparecen en la expansión binaria. Tendrás que hacer alrededor de $2\log_2 n$ multiplicaciones aquí. Creo que el error relativo no aumentará en comparación con lo que era inicialmente para $e$. Incluso podría disminuir. Si tienes $x=n+\{x\}$, donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$, entonces puedes calcular $e^{\{x\}}$ con la serie de Taylor y multiplicar $e^n$ por ese número.

Answer 2

Puedes usar la definición de $\exp(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+\ldots$.

También puedes usar hechos como

$\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$, por lo tanto, por ejemplo, $\exp(5)=\exp(1)^5$.

Answer 3

También puedes usar la aproximación $$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x.$$

Answer 4

Puedes usar la expansión en serie de $e^x$ para obtener una aproximación decente, pero no es muy cómodo hacerlo a mano:

$e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+...$

por ejemplo, para calcular $e^3$ puedes calcular $1+3+\frac{9}{2}+\frac{3^3}{6}+\frac{3^4}{24}...$, cuantos más términos uses, mejor será tu aproximación, en este caso $e^3=20.0855...$ y las sumas son $1,4,8.5,13,16.375,18.4,19.4125,19.84...$
Sin embargo, tendrías que calcular hasta $3^7$ para obtener $19.84$, lo cual ni siquiera es una aproximación tan precisa de $e^3$