Integral de la $\sqrt{1 + \sqrt{x}}$

Question

Mi profesor quiere que nosotros hagamos este problema para actualizar a nosotros mismos con la sustitución. Tenemos que resolver:

$$\int\sqrt{1 + \sqrt{x}}\,\mathrm dx$$
$$\int\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{x}}}\,\mathrm dx$$
...etc...

Si alguien puede que me señale en la dirección correcta con la primera, creo que puedo manejar a los demás.

Gracias por la ayuda chicos!

Answer 1

Una técnica generalmente vale la pena probar en la integración es ser muy optimista: pregúntate a ti mismo lo que es "duro" sobre el integrando y, a continuación, hacer una sustitución, que simplifica, incluso si la sustitución se ve horrible. En su caso, el "duro" de la parte acerca de $\sqrt{1 + \sqrt{x}}$ es que el argumento de la raíz externa no es, evidentemente, un cuadrado perfecto, por lo que no simplifica. Así que sustituyendo $u^2$ $1 + \sqrt{x}$ podría ser vale la pena considerar. (Usted va a obtener un integrando que es un polinomio en a $u$.)

Answer 2

$\int\sqrt{1 + \sqrt{x}}.dx$

t=1+$\sqrt{x}$

t-1 = $\sqrt{x}$

${(t-1)}^2$ = x

$\int\sqrt{t}.2(t-1)dt$

2$\int\sqrt{t}.(t-1)dt$

=2$\int\{t^\frac{3}{2}-t^\frac{1}{2})dt$

4$(\frac{t^\frac{5}{2}}{5}-\frac{t^\frac{3}{2}}{3})dt$

$\int\sqrt{1 + \sqrt{1+\sqrt{x}}}.dx$ -- , Será resuelto a través de la Sustitución Método utilizado anteriormente.

Answer 3

Esta es la respuesta de Wolframalpha: tenga en cuenta que usted tiene que utilizar la sustitución

$$u=\sqrt{x}$$

en primer lugar. Tenga en cuenta que Wolframalpha capaz de darle el paso a paso de la solución.

Answer 4

Sorprendentemente baratos sugerencia útil: $x = 1+(x-1)$.