Cómo determinar si las series son convergentes absolutas o condicionales $\sum_1^\infty \cos(\frac{\pi n}{3})(n^{\frac{1}{\sqrt[6]{n+6}}}-1)$

Question

$$\sum_1^\infty \cos\left( \frac{\pi n} 3 \right) \left(n^{\frac 1 {\sqrt[6]{n+6}}}-1\right)$$

Intenté usar Dirichlet, pero sin éxito. Por favor, dame pistas. Muchas gracias.

Answer 1

La convergencia no es absoluta. Dado que $x>0\implies e^x>1+x$, tenemos que $$n>1\implies n^{(n+6)^{-1/6}}-1=e^{(n+6)^{-1/6}\ln n}-1>(n+6)^{-1/6}\ln n.$$

Sea $y_n$ el término $n$-ésimo de la serie. Para $k\in \mathbb N$ tenemos $\cos \pi (6k+1)/3=1/2$, por lo que $$y_{(6k+1)}>(1/2)(6k+7)^{-1/6}\ln (6k+1)>(1/2)(6^6k^6)^{-1/6}\ln (6k)=(1/2)(\ln 6k)/(6k). $$

$$\text {Por lo tanto }\quad \sum_{n=1}^{\infty}|y_n|\geq \sum_{k=1}^{\infty}|y_{(6k+1)}|\geq (1/2)\sum_{k=1}^{\infty} (\ln 6k)/6k\geq (1/12)\sum_{k=1}^{\infty}1/k=\infty.$$

Answer 2

\begin{align} & \Big( \cos \frac{1\pi} 3, \quad \cos\frac{2\pi} 3, \quad \cos\frac{3\pi} 3, \quad \cos\frac{4\pi} 3, \quad \cos \frac{5\pi} 3, \quad \cos\frac{6\pi} 3, \quad \ldots \Big) \\[10pt] = \frac 1 2 & \Big( \underbrace{1,\ 1,\ 0,\ -1,\ -1,\ 0},\ \underbrace{1,\ 1,\ 0,\ -1,\ -1,\ 0},\ \ldots\ldots\ldots \Big) \end{align} La secuencia $1,1,0,-1,-1,0$ se repite para siempre.

Entonces tienes una suma de dos términos positivos, luego una suma de dos términos negativos, etc.

La prueba de la serie alterna dice que si los términos disminuyen y se acercan a $0$ y tienen signos alternos, entonces la serie converge.

Si converge absolutamente, tomará más trabajo responder después de eso. Tal vez vuelva más tarde.