Evaluación de $I_{a,b} = \int_{1}^{+\infty} \frac{\ \exp{(-at)}}{ 1-bt} \ \mathrm{d}t $

Question

¿Cómo evaluar esta integral?

$$I_{a,b} = \int_{1}^{\infty} \frac{\ \exp\left(-a t\right)}{ 1-b t} \mathrm{d}t $$
donde $a, b \in R^*_+$?

Answer 1

Suponiendo que $b<1$ para que $1-bt >0 $.

Gracias a @anon esto se puede hacer haciendo la sustitución :
1). $u=1-bt$, con $\mathrm{d}t = (-1/b) \mathrm{d}u$, entonces : $$I_{a,b} =\frac{\exp(-\frac{a}{b})}{b} \ \int\limits_{-\infty}^{1-b} \frac{\ \exp\left(\frac{a}{b} u\right)}{u} \mathrm{d}u$$

2.) $v=\frac{a}{b}u$ con $\frac{\mathrm{d}v}{v}=\frac{\mathrm{d}u}{u}$ , entonces : $$I_{a,b} =\frac{\exp(-\frac{a}{b})}{b} \ \int\limits_{-\infty}^{(1-b)\frac{a}{b}} \frac{\ \exp(v)}{v} \mathrm{d}v$$

Por lo tanto, $$I_{a,b} =\frac{\exp(-\frac{a}{b})}{b} \ Ei({(1-b)\frac{a}{b}})$$ donde $Ei(x) =\int\limits_{-\infty}^{x} \frac{\ \exp(t)}{t} \mathrm{d}t $ : La Función Integral Exponencial