El conjunto es una base de un subespacio vectorial

Question

Sea $B=\{b_1, \ldots , b_5\}$ una base del espacio vectorial real $V$ y $\Phi$ un endomorfismo de $V$ con \begin{align*}\Phi (b_1)& =4b_1+2b_2-2b_4-3b_5 \\ \Phi (b_2)& = -2b_3 +b_5 \\ \Phi (b_3)& =-4b_2+2b_3 -b_5 \\ \Phi (b_4)& =-2b_1 +3b_3+b_4-b_5 \\ \Phi (b_5)& =3b_2 +2b_5\end{align*}

He encontrado la matriz de transformación de $\Phi$ y $\Phi\circ\Phi$ en relación a $B$ y he demostrado que $\Phi$ no es biyectiva.

Quiero mostrar también lo siguiente:

El conjunto $C=\{c_1, c_2, c_3\}$, que consiste en los vectores $c_1=b_2+b_3+b_5, \ c_2=-b_3+b_5, \ c_3=b_2+b_5$, es una base de un subespacio vectorial $U$ de $V$ con $\Phi(U)\subset U$.

$$$$

Primero tenemos que mostrar si $c_1, c_2, c_3$ son linealmente independientes, ¿o no?

¿Qué más tenemos que mostrar?

Answer 1

Quieres demostrar la afirmación de que $\{c_1,c_2,c_3\}$ es una base. Decir que este conjunto es una base significa que los vectores son linealmente independientes, así que sí es necesario mostrar esto.

Luego, para demostrar que $\Phi(U)\subset U$, necesitas tomar cualquier vector $c=\alpha_1c_1+\alpha_2c_2+\alpha_3c_3$ en $U$ (aquí $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb R$) y demostrar que $T(c)\in U$. Como pista, puedes mostrar que $T(c_1),T(c_2),T(c_3)$ están todos en $U$, ya que esto mostraría que $T(U)\subset U$ (pregúntate por qué es eso).