Bernoulli ecuaciones1

Question

Pregunta:

Resuelve las siguientes ecuaciones de Bernoulli.

$$xy'+y=y^{-2}$$

Resolviendo:

$$w=y^1+2$$ $$,$$

$$\frac{w'}{1+2}+1w=1$$

$$\frac{-w'}{3}=-1$$

$$\frac{1}{3}(\frac{-1}{3}w'-w)=-1$$

$$d(\frac{-1}{3}w)=-1$$

$$\frac{-1}{3}w=-1+C$$

$$= \left\{ \begin{array}{l l} w=9 & \quad \\\ w=y^3 & \quad \ \end{array} \right.$$

Creo que resolví mal.

Por favor, ayúdame.

Answer 1

Primero observa que si $x = 0$ entonces $y = 1$ es la solución.

Luego, asume $x \neq 0$. La ecuación se puede escribir como $$y^2y' + \frac{y^3}{x} = \frac{1}{x}.$$ Pon $w := y^3$ entonces $w' = 3y^2y'$ y la ecuación se vuelve lineal: $$\frac{w'}{3} + \frac{w}{x} = \frac{1}{x}.$$ Esto se puede resolver por separación de variables. Por lo tanto, la respuesta es $$ y = \begin{cases} 1 & x = 0 \\ \sqrt[3]{1 + \frac{c}{x^3}} & x \neq 0 \end{cases} $$ para alguna constante positiva $c$.

Answer 2

Pista: Utiliza la sustitución $t = \ln x$ para $x>0$ y $t= \ln (-x)$ para $x<0$. Entonces (para $x>0$) $$y'_x=y'_t t'_x=y'_t \frac{1}{x}$$ así que $$xy'_x = y'_t$$ y nuestra ecuación se convierte en $$y'_t+y=y^{-2}$$